不定积分的分部积分什么时候可以直接用

Question

e^xsinxdx就不能直接用分部积分。得先换dx.xsinxdx就能直接用。为什么

Answer 1

下图解说了三种情况：降幂、转化、重复出现。

具体经验，需要多解题才能获得即兴灵感。

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Answer 2

e^x经过求导或者求积，都是e^x，也就是e^x项经过求导或者求积不存在降次或者升次。还是它本身。
但是x作为一个多项式，经过“求导就降次最后降为0”或者“求积就升次，积分就越来越麻烦”
sinx经过求导或者求积都变成cosx,而经过两次求导或者求积就变成本身，于是形成一个循环。
楼主细细体会三类函数在求积分的特点就明白了。