一道初中数学几何题（有图）
已知直角三角形ABC中，AC=BC,角C=90度，D为AB边中点，角EDF=90度，角EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、BC（或它们的延长线）于E、F，当角EDF绕D点旋转到DE垂直于AC于E时，三角形DEF、CEF、ABC 之间的面积有怎样的数量关系？
额.......我已经做出来了 ，答案是 S三角DEF-S三角形CEF=1/2 S三角形ABC
第1个回答 2011-03-01
在一个三角形ABC中，有一个内三角形PDE。AB是底边，点P在AB边上，点D在AC边上，点E在BC边上。在某个特殊的位置上，三角形PDE有一个最小值周长。
求：当三角形PDE的周长是最小值时，点P处于AB边上一个特殊的位置。点P在哪里？点D和点E又在哪里？最小值周长是多少？
根据提示，连接CP、CR、CT，设PR交AC于H，PT交BC于H'
显然，D、E只有分别对应RT与AC、BC的交点，三角形DEP的周长才是最小的，也就是此时三角形DEF的周长就是RT的长度
因为RH＝PH，且角CH垂直于RP，所以三角形RCH与三角形PCH全等，
故有角RCH＝角PCH，CR＝CP
同理可证角TCH'=角PCH'，CT＝CP
所以CR＝CP＝CT
所以角RCT＝2倍角ACB
由余弦定理RT^2=CR^2+CT^2-2*CR*CT*cos角RCT
又根据上面得出的结论，用CP分别替代CR、CT，用2倍角ACB替代角RCT
有RT^2=2*CP^2*(1-cos2倍角ACB)
因为角ACB为定值，显然，只有当CP最小时，RT才是最小的
所以P点为从C作垂线与AB的交点，D、E两点就是RT与AC、BC的交点(也可以证明这两点也是垂线的交点）
要求最小周长，得把CP用三角形的边和角表示出来，可有多种选择
我用CP＝AC*sin角CAB表示
则RT^2=2*(AC*sin角CAB)^2*(1-cos2倍角ACB)
开方后即得内接三角形周长的最小值
注：RT^2表示RT的平方的意思，其它的类推追问
求：当三角形PDE的周长是最小值时，点P处于AB边上一个特殊的位置。点P在哪里？点D和点E又在哪里？最小值周长是多少？
根据提示，连接CP、CR、CT，设PR交AC于H，PT交BC于H'
显然，D、E只有分别对应RT与AC、BC的交点，三角形DEP的周长才是最小的，也就是此时三角形DEF的周长就是RT的长度
因为RH＝PH，且角CH垂直于RP，所以三角形RCH与三角形PCH全等，
故有角RCH＝角PCH，CR＝CP
同理可证角TCH'=角PCH'，CT＝CP
所以CR＝CP＝CT
所以角RCT＝2倍角ACB
由余弦定理RT^2=CR^2+CT^2-2*CR*CT*cos角RCT
又根据上面得出的结论，用CP分别替代CR、CT，用2倍角ACB替代角RCT
有RT^2=2*CP^2*(1-cos2倍角ACB)
因为角ACB为定值，显然，只有当CP最小时，RT才是最小的
所以P点为从C作垂线与AB的交点，D、E两点就是RT与AC、BC的交点(也可以证明这两点也是垂线的交点）
要求最小周长，得把CP用三角形的边和角表示出来，可有多种选择
我用CP＝AC*sin角CAB表示
则RT^2=2*(AC*sin角CAB)^2*(1-cos2倍角ACB)
开方后即得内接三角形周长的最小值
注：RT^2表示RT的平方的意思，其它的类推追问
......你这个过程不是我的题的
参考资料：百度一下
第2个回答 2011-03-01
DEF=CEF =1/4ABC
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