微分同胚 黎曼几何 唐梓洲的书

Question

为什么这个是微分同胚的？phi的逆映射是t^{1/3}，这在0处不是光滑的啊？

Answer 1

微分同胚考察的是坐标卡之间的关系，而不是与原空间的关系。
证明微分同胚，首先证明同胚，此例中是显然的。然后证明映射可微，这里你犯了个错误，就是把原空间与坐标卡混淆了，原流形作为一个拓扑空间是无法做微分的（即使是例中的R,你把它看成拓扑空间时只是一条直线，要忘掉他本身的微分结构），只有在局部同胚于欧氏空间时才会把欧氏空间中的微分结构借过来作为自己的局部微分结构（微分结构是附加结构），所以考察两个微分流形是否微分同胚需要考察的是两个坐标卡之间的映射而不是两个拓扑空间之间的映射（例子中给出的拓扑空间的映射原则上无法做微分，你认为可微是因为你没有忘掉他原来的微分结构）。也就是考察拓扑空间映射前后复合上坐标映射后得到的映射是否可微。此例中复合后的映射实际上是恒等映射，所以自然是光滑的。

有问题还可以继续问我。

Answer 2

研究微分流形在微分同胚映射下不变的性质的数学分支。研究的基本对象是微分流形或带边的微分流形以及这样的流形之间的可微映射。m维微分流形　Mm是局部欧几里得空间，即每点x∈M存在邻域u及同胚j：u→v，其中v是Rm的一个开集，（u，j）为Mm在点x的局部坐标且一点的两个局部坐标之间的坐标变换是C＆yen；光滑的。两微分流形之间的可微映射f：　　Mm→Nn是指它们在每点x∈Mm的局部表示ψof　oj1－1：Rm→Rn是C＆yen；光滑的且f连续，此处（u1，j1）　（w1，ψ1）分别是x及f（x）的局部坐标。若f：Mm→Nn是可微映射且其逆f－－1：Nn→Mm也是可微映射，则称f是微分同胚。微分拓扑学主要研究以下几个方面的问题：①研究微分流形的拓扑结构、组合结构与微分结构的关系，证明了拓扑流形（把微分流形中局部坐标光滑改为连续）与微分流形之间有着本质区别，拓扑流形不一定是微分流形0一个拓扑流形可以存在不同的微分结构（局部坐标系）。例如7维怪球与S7同胚062存在多个相异的微分结构，使其与S7不微分同胚。②嵌入问题：给定两个微分流形Mm和Nn，m≤n，M是否可光滑地嵌入N，即是否存在光滑映射f：M→N，使f：M→f（M）是同胚，且局部表示ψof　oj－1的秩等于m，其中j，ψ定义如上。H．惠特尼在20世纪30年代证明了n维紧微分流形可光滑地嵌入于R2n。③配边问题：对给定的一个紧微分流形，判断它是否为一个有边微分流形的边界。④微分动力体系：关于单参数微分同胚群的研究。⑤奇点理论：关于可微映射局部结构的研究及其等价分类；⑥突变论。　　　从历史上看，微分流形概念的提出及拓扑结构的研究起源于H．庞加莱，他提出了著名的庞加莱猜想。但由于数学工具的限制，相当长一段时间微分流形的拓扑研究一直未取得突破性进展。直到1936年惠特尼的嵌入定理，S．S．凯恩斯证明了微分流形的可剖分性，以及莫尔斯理论的产生，奇点理论这一分支的诞生，伴随着代数拓扑纤维丛、示性类以及同伦群的研究的进展使配边理论及嵌入问题研究进一步发展，从而逐渐形成了“微分拓扑”这一新学科，并进入20世纪数学发展的主流。一类重要的拓扑空间。它除了具有通常的拓扑结构外，还添上了微分结构。微分几何学的研究是建立在微分流形上的。三维欧氏空间R3中的曲面是二维的微分流形，但微分流形的概念远比这广泛得多，非但维数不限于二维，而且流形也不必作为n维欧氏空间Rn中的曲面来定义。此外，一般微分流形也不一定有距离的概念。　　　具体说来，设M是一个豪斯多夫拓扑空间。U是M的开集，h是U到n维欧氏空间Rn的开集（常取为单位球内部或立方体内部等等）上的一个同胚映射，则（U，h）称为一个坐标图，U称为其中点的一个坐标邻域。设M为开集系｛Uα｝所覆盖，即，则（Uα，hα）的集合称为M的一个坐标图册。如果M的坐标图册中任何两个坐标图都是Ck相关的adi则称M有Ck微分结构wa又称M为n维的Ck微分流形Ck相关是指流形M上同一点的不同坐标之间的变换关系是Ck可微分的（k＝0，1，…，∞或ω），依通常记号Cw表示解析函数。具体来说，　如p∈Uα∩Uβ，（x），（x）（i＝1，…，n）分别是p在两个坐标图（Uα，hα），（Uβ，hβ）下的（局部）坐标，即那么它们之间的关系式可表为　而＆＃402；关于x（j＝1，2，…，n）具有直到k次的连续导数。k＝0时，M是拓扑流形；k＆gt；0时，就是微分流形；k＝ω时，是解析流形。C∞流形又常称为光滑流形。　　　如果微分流形M是一个仿紧或紧致拓扑空间rvzd则称M为仿紧或紧致微分流形。如果可选取坐标图册使微分．．．．．．余下全文＞＞