从1到2之间的所有实数的个数为什么与从1到3之间的所有实数的个数相同？如果能回答，我就加入数学爱好者

Question

问题补充：

如果真是数与点一一对应（好像课本是这么说的），个数一样多的话，为啥从1到2由点组成的线段长度比从1到3的短？
从1到2的所有实数的个数与全体实数的个数一样多吗？如果一样多，为啥长度差距这样大呢？
这是作为数学爱好者，想加入数学爱好者团队，向团长：KKLQY的提问。谢谢
还是想听听团长团长：KKLQY
的回答？
不会是开会去了吧。
俺怀疑所谓的团队排名，不过是银样蜡枪头

Answer 1

下面德国数学家希尔伯特(Hilbert) 的 数学科普故事回答了你的第一个问题。

1、自然数与偶数自然数哪个多？
2、从1到2之间的所有实数的个数 与 从1到3之间的所有实数的个数 哪个多？
答案是它们都是无限集，它们的个数都一样多。我们可以建立一一映射关系来证明它们一样多。设自然数集合为A，偶数集合为B。任取属于A的元素x，我们可以从B中取y使得它们满足：y=2*x .也就是说对应关系为：{1与2}，{2与4}，{3与6}，{4与8}，……同理针对第二个问题我们可以建立对应函数：y=1.5*x .

希尔伯特旅馆的故事
希尔伯特开了一家旅馆，他的旅馆里的房间有无穷多。一天旅馆中已经住满了人，但是这时又来了一位客人，正在店员因为客满正要赶这位客人走时，希尔伯特聪明的女儿解决了这个问题。她让原来在1号房的客人住2号房，2号房的住3号房，依次下去。这样她就腾出1号房给新来的客人住了。

有一天，来了一个号称有无穷多人组成的旅行团，店员只好又找到希尔伯特的女儿来解决这个问题。她是这样安排的：让原来的客人1号房的住2号房，2号房的住4号房，3号房的住6号房，依次仅安排偶数房间，剩下的奇数房间留给新来的旅行团入住。

希尔伯特(Hilbert)说：“没有任何问题可以像无穷那样深深的触动人的情感, 很少有别的观念能像无穷那样激励理智产生富有成果的思想, 然而也没有任何其他的概念能向无穷那样需要加以阐明。” 赫尔曼●外尔说：数学是无穷的科学.

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你的第二个问题，实数的个数是无限的，而线段的长度是有限的。不能用看待有限集的眼光来看待无限集，不能把处理有限集的行为方式照搬到无限集中来。
任意两个实数之间的实数的个数都是无限的，在希尔伯特旅馆的故事中，能够列举出来的只是很小一部分“数代表”，任意两个“数代表”之间的实数的个数仍然是无限的。
从1到2间的所有实数的个数与从1到3间所有实数的个数虽然一样多，但在希尔伯特旅馆的故事中在从1到2间抽样选取“数代表”时比在从1到3间抽样选取的“数代表”间距更小，所以从1到2的所有实数的个数由点组成的线段长度比从1到3的短。
也可以这样想：你家盖了几间房子，邻居家也盖了几间房子。你们两家盖的房子都是呈线状排列的，房间个数相同。你家房子开间是3米，邻居家房子开间是4米，你们两家盖的房子房间个数一样多，为啥占地长度不一样呢？

Answer 2

从1到2的任意实数可表示为集合M={m丨m=1+1*cosα,(0=<α<=π/2)}
从1到3的任意实数可表示为集合N={n丨n=1+2*cosβ，(0=<β<=π/2)}
由于α、β的范围相同，所以M=N，从1到2之间的所有实数的个数与从1到3之间的所有实数的个数相同。

Answer 3

实数的个数与长度两个概念所属范畴不同，1到2之间的长度可以度量，可是说个数的话无论多长多短都是无数个，所以个数无法进行规划

Answer 4

前面的回答都不准确，你问的是个无限集的问题。课本那句只对有限集有用。无限集的定义便是如果某集合能与该集的一个真子集一一对应，那它便是无限集，你给的两个集合都是无限集，论个数都是无限，毫无意义，容量应用基数衡量，你所说的不准确的个数一样多，是基数相等的意思，另外，不是所有无限集基数都等，如果讲深了三言两语说不清，有兴趣看康托，希尔伯特，或是陶哲轩的书，某些高中数学竞赛书上也有

Answer 5

简单地说就是无穷=无穷，无穷+无穷=无穷（我所说的无穷代表无穷集合）