近世代数理论基础14：同构定理

Question

如题所述

Answer 1

设 是同态映射, ,令 为S在映射f下的像集,对 ,令 为集合 的原像

引理：设 是满同态,则有

1.

2.

3.

4.

证明：

定理：设 是满同态,记 ,定义两个集合 , ,则

1.存在一一映射(双射)

2.若 且 ,则 ,且

证明：

注：第一同构定理的常用形式：若取 ,且 ,则

定理：设G是群,H,K是G的子群,且 ,则

1.

2.

3.

4.

证明：

例：

1.设 为正整数,决定群 的所有子群

2.设 为n次对称群,若G为 的子群,证明G中所含置换或全是偶置换或奇偶置换各半

证：