一道高数介值定理的证明题。若函数f（x）在［a，b］上连续，且a＜c＜d＜b.证明：在 ［a，b］

Question

一道高数介值定理的证明题。若函数f（x）在［a，b］上连续，且a＜c＜d＜b.证明：在 ［a，b］上必存在点ε，使mf（c）+nf（d）=（m+n）f（ε），其中m>0，n>0.

Answer 1

不妨设f(c)<=f(d), 设
0<u<1, 则有
f(c)<=uf(c)+(1-u)f(d)<=f(d),
根据介值定理，在 ［a，b］上必存在点ε，满足
f( ε)=uf(c)+(1-u)f(d).

设u=m/(m+n), 那么结论成立

Answer 2

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Answer 3

Answer 4

感觉不严谨啊，1<2﹤4
1<3<4
何