对x求偏导数，就是将y看作常数
z＝arctany／x
那么得到
∂z／∂x＝1／（1＋y²／x²）＊∂（y／x）／∂x
＝1／（1＋y²／x²）＊（－y／x²）
＝－y／（x²＋y²）
于是继续求偏导数得到
∂²z／∂x²＝∂［－y／（x²＋y²）］／∂x
＝y／（x²＋y²）²＊∂（x²＋y²）／∂x
＝y／（x²＋y²）²＊2x
＝2xy／（x²＋y²）²
x方向的偏导
设有二元函数 z=f(x,y) ，点(x0,y0)是其定义域D 内一点。把 y 固定在 y0而让 x 在 x0 有增量 △x ，相应地函数 z=f(x,y) 有增量（称为对 x 的偏增量）△z=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)。
如果 △z 与 △x 之比当 △x→0 时的极限存在，那么此极限值称为函数 z=f(x,y) 在 (x0,y0)处对 x 的偏导数，记作 f'x(x0,y0)或函数 z=f(x,y) 在(x0,y0)处对 x 的偏导数，实际上就是把 y 固定在 y0看成常数后，一元函数z=f(x,y0)在 x0处的导数。