如果一个数列的项数n趋向于无穷大时,数列的极限存在,那么就称这个数列收敛。
而对于函数,如果一个函数的自变量趋向于X0(或∞)时,它的因变量趋向某个特定值或者趋向∞那么就称函数在X0(或无穷大)处有极限。
若一个数列收敛,那么这个数列就是有界数列,若一个函数在某点处有极限,那么这个函数在这个点处的去心领域内有界,也就是说局部有界。
1,有界不一定有极限,例如振荡函数(正弦函数)。
2,函数极限存在一定是有界的,既有下界,也有上界。(利用“单调有界必有极限”的原理去证明数列(在N⇒∞时)极限存在时,只需证明有下界(单调递减)或者有上界(单调递增)。
3,级数的部分和极限存在,则该级数收敛。
4,如果级数收敛,则一般项的极限趋于0。反之,则不成立。
补充:无界跟无穷极限的关系。
如果函数极限为无穷,则该函数是无界的;反之,函数无界,不能证明函数的极限为无穷。函数无界也有可能是正振荡函数(越振幅值越大的)。
充要条件:当N⇒∞时,Xn⇒X0,f(Xn)⇒∞ ,那么函数f(x)无界。反之亦成立。
极限和有界性是数学中两个重要的概念,它们之间存在一定的关系。让我们来解释它们:
极限:在数学中,极限是用于描述函数在某个点或趋于某个值时的行为。如果一个函数 f(x) 在 x 趋近某个值(通常是无穷大或无穷小)时,它的值趋于一个有限的常数 L,则称函数 f(x) 在该点或趋于该值时的极限为 L,表示为 lim(x→a) f(x) = L。
有界性:如果一个函数在某个区间或在整个定义域上都有一个上界和一个下界,那么该函数就是有界的。具体来说,如果存在常数 M 和 N,使得对于所有 x 的取值在区间或定义域内,都有 M ≤ f(x) ≤ N,则函数 f(x) 是有界的。
关于极限和有界性之间的关系:
有界函数的极限:如果一个函数在某个点或趋于某个值的时候有极限,那么它在该点或趋于该值时必定是有界的。这是因为函数在趋近极限值的过程中,函数值被限制在某个范围内,从而保证了有界性。
有极限的函数不一定是有界的:虽然有界函数的极限必定存在,但有极限的函数未必是有界的。例如,函数 f(x) = 1/x 在 x = 0 处有极限为无穷大,但它在整个定义域上并不是有界的。
综上所述,有界函数的极限一定存在,并且有极限的函数在极限点附近是有界的,但有极限的函数未必是有界的。极限和有界性是数学中两个不同的概念,需要分开考虑。