为什么矩阵的行列式一定为零呢？

Question

如题所述

Answer 1

因为矩阵的秩小于n，则一定可以通过初等变换化为其中一行（列）或多行（列）为零的情况，初等行（列）变换是左（右）乘一初等矩阵，进行多次行（列）变换就是乘多个初等矩阵，因为矩阵一定可以通过初等变换化为某（多）行（列）为零的矩阵，故矩阵可写为一些初等矩阵左乘（行变换）某（多）行（列）为零的矩阵再右乘（列变换）一些初等矩阵的形式（若仅通过一种变换可以仅左乘或右乘），如下:AA1A2…BCC1C2…，而由于|AB|=|A||B|所以|原式|=|A||A1||A2|…|B||C||C1||C2|…其中，由于B的行或列一定有全为零的，所以|B|=0，故|原式|为零，即矩阵得行列式为零。