求解三角函数方程

Question

8sin^3 18°-4sin 18° +1=0
过程

Answer 1

是要求证上面这个式子是吧

8sin^3 18°-4sin 18°
=4sin18°(2sin²18°-1)
由公式cos2a=1- 2sin²a可以知道，
2sin²18°-1= -cos36°
即
8sin^3 18°-4sin 18°
= -4sin18°×cos36°
而
4sin18°×cos36°
=4sin18°×cos36°×cos18° / cos18°
再由二倍角公式可以知道，
sin2a=2sina×cosa
所以
4sin18°×cos36°×cos18°
=4sin18°×cos18°×cos36°
=2sin36°×cos36°
=sin72°

于是
8sin^3 18°-4sin 18°
= -4sin18°×cos36°
= -4sin18°×cos36°×cos18° / cos18°
= -sin72° / cos18°

显然sin(90°-a)=cosa，即sin72°=cos18°，
所以
8sin^3 18°-4sin 18°
= -sin72° / cos18°
= -1

即
8sin^3 18°-4sin 18°+1=0，
等式得到证明追问

谢谢你。是解方程啊。。。解！

追答

你这个式子连未知数都没有，解什么方程的呢？

追问

就是解出来sin 18°的值啊，帮帮忙

追答

由8sin^3 18°-4sin 18° +1=0
得到(2sin18° -1)(4sin²18°+2sin18°-1)=0
显然sin18°不等于0.5，即2sin18°-1不等于0，
于是4sin²18°+2sin18°-1=0
设sin18°= x，
即4x²+2x-1=0，
解得x=(√5-1)/4或(-√5-1)/4
而显然sin18°大于0，
故sin18°=(√5-1)/4

追问

不对啊。。
(2sin18° -1)(4sin²18°+2sin18°-1)=0
展开得到：8sin^3 18°-2sin 18° +1=0
与原方程8sin^3 18°-4sin 18° +1=0不一样啊

追答

那是你展开错了呢……再仔细做一次试试
(2sin18° -1)(4sin²18°+2sin18°-1)
=(8sin^3 18°+4sin²18°-2sin18°) - (4sin²18°+2sin18°-1)
=8sin^3 18°-4sin 18° +1