函数的基本特性有哪些?其几何意思如何?

Question

如题所述

Answer 1

函数是每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系，表示为 f(x)。定义域是包含所有输入值的集合，值域是包含所有输出值的集合。函数的性质包括有界性、单调性、奇偶性、周期性和连续性。
1. 有界性：如果存在数 K1，使得 f(x) ≤ K1 对所有 x 成立，则函数在 X 上上有界。如果存在数 K2，使得 f(x) ≥ K2 对所有 x 成立，则函数在 X 上有下界。如果存在正数 M，使得 |f(x)| ≤ M 对所有 x 成立，则函数在 X 上有界。函数在 X 上有界的充分必要条件是它既有上界又有下界。
2. 单调性：如果对于区间 I 上的任意两点 x1 和 x2，当 x1 < x2 时，恒有 f(x1) < f(x2)，则函数在区间 I 上是单调递增的。如果对于区间 I 上的任意两点 x1 和 x2，当 x1 x2 时，恒有 f(x1) > f(x2)，则函数在区间 I 上是单调递减的。单调递增和单调递减的函数统称为单调函数。
3. 奇偶性：如果对于所有实数 x，方程 f(-x) = -f(x) 成立，则 f(x) 是奇函数。奇函数关于原点对称，其图像在绕原点旋转 180 度后不会改变。偶函数的例子有 |x|、x^2、cos(x) 和 cosh(sec(x))。如果对于所有实数 x，方程 f(x) = f(-x) 成立，则 f(x) 是偶函数。偶函数关于 y 轴对称，其图像在对 y 轴镜射后不会改变。
4. 周期性：如果存在正数 T，使得对于任一 x ∈ D 有 (x ± T) ∈ D，且 f(x + T) = f(x) 恒成立，则称 f(x) 为周期函数，T 称为 f(x) 的周期。周期函数的定义域 D 至少一边是无界的，如果 D 是有界的，则该函数不具周期性。并非每个周期函数都有最小正周期，例如狄利克雷函数。
5. 连续性：在数学中，连续是函数的一种属性。连续的函数是当输入值的变化足够小时，输出的变化也会随之足够小的函数。如果输入值的微小变化会产生输出值的突然跳跃甚至无法定义，则这个函数被称为不连续的函数。函数在定义域中的任意点处都连续，称为处处连续。
6. 凹凸性：如果函数在 I 上的两点 x1 ≠ x2，恒有 f((x1 + x2)/2) ≤ (f(x1) + f(x2))/2，则 f(x) 是区间 I 上的凸函数；如果恒有 f((x1 + x2)/2) ≥ (f(x1) + f(x2))/2，则 f(x) 是区间上的凹函数。
7. 实函数和虚函数：实函数是指定义域和值域均为实数域的函数，可以在坐标上画出图形。虚函数是面向对象程序设计中的一个重要概念，当从父类中继承时，虚函数和被继承的函数具有相同的签名。在运行过程中，系统将根据对象的类型自动选择适当的具体实现运行。
8. 增减性：根据 y = f(x), μ = φ(x) 的增减性决定。增增得增，减减得增，增减得减，可以简化为同增异减。判断复合函数的单调性的步骤包括求复合函数定义域、分解为常见函数、判断每个常见函数的单调性、将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围，最后求出复合函数的单调性。
9. 周期函数性质：若 T（T ≠ 0）是 f(x) 的周期，则 -T 也是 f(x) 的周期。若 T（T ≠ 0）是 f(x) 的周期，则 nT（n 为任意非零整数）也是 f(x) 的周期。若 T1 与 T2 都是 f(x) 的周期，则 T1 ± T2 也是 f(x) 的周期。若 f(x) 有最小正周期 T*，则 f(x) 的任何正周期 T 一定是 T* 的正整数倍。T* 是 f(x) 的最小正周期，且 T1、T2 分别是 f(x) 的两个周期，则 T1、T2 ∈ Q（Q 是有理数集）。若 T1、T2 是 f(x) 的两个周期，且 T* 为无理数，则 f(x) 不存在最小正周期。周期函数 f(x) 的定义域 M 必定是双方无界的集合。