文氏图可以用来帮助分析题意,理清思路来;但将之作为证明过程。有缺乏严谨之嫌。下面我给出代数证明过程。
证明:A∩B<A
A∩B<B
∴(A∩B)^C>A^C
(A∩B)^C>B^C
∴(A∩B)^C>A^C∪B^C……※
同理可证,(A∪B)^C<A^C∩B^C
把A^C代入A,B^C代入B,从而有
(A^C∪B^C)^C<(A^C)^C∩(B^C)^C=A∩B
∴两边取补,得
A^C∪B^C>(A∩B)^C
即∴(A∩B)^C<A^C∪B^C
结合※式可得,:(A∩B)^C= A^C∪B^C
注意,以上的<,>分别表示集合的包含于和包含的关系。我的字符库里没有该数学符合,所以,用上述符合代替。
再证第二个问题,设映射f:X→Y,集合A属于集合X,集合B也属于X,求证: f(A∪B)=f(A)∪f(B)
证明:不妨设,对于任意x1∈A∪B,那么必然存在唯一一个y1=f(x1)∈f(A)∪f(B);
同理设对任意y2∈f(A)∪f(B),那么按照定义规则f可知,必然存在一个x2∈A或x2∈B,即x2∈A∪B。不然,f不是个映射,这与题目矛盾。
综上可知,从集合A∪B到f(A)∪f(B)是一个按照规则f的映射。(就是说把A∪B看作新的集合X,f(A)∪f(B)看作新的集合Y,从而有f(X)=Y)
所以f(A∪B)=f(A)∪f(B)
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