微分中值定理的意义是什么?

Question

无论是罗尔定理还是拉格朗日定理或是柯西中值定理我都能从几个图形来理解，但是我学习微分时不明白这些定理的意义和实际作用是什么？为什么要学习这些定理？

Answer 1

微分中值定理是一系列中值定理总称，是研究函数的有力工具，其中最重要的内容是拉格朗日定理，可以说其他中值定理都是拉格朗日中值定理的特殊情况或推广。微分中值定理反映了导数的局部性与函数的整体性之间的关系，应用十分广泛。

拉格朗日定理内容：

如果函数 f(x) 满足：

1、在闭区间[a,b]上连续；

2、在开区间(a,b)内可导。

那么：在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，

使等式 f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a) 成立。

拉格朗日中值定理的几何意义是：曲线上必然存在至少一点，过该点的切线的斜率和连接曲线（a，b）的割线的斜率相同；或者说，曲线上必然存在至少一点可以做割线（a，b）的平行线。

扩展资料：

微分中值定理及由它导出的一些重要定理还有其他应用。如讨论函数在给定区间内零点的个数，证明函数恒等式或不等式以及证明函数或导函数在某区间存在满足某种特征的点等等。通过学习定理的基本内容和典型题型的解题方法和技巧，力图学会一些论证的方法，如变量替换法和辅助函数法。

这是实现由未知向已知转化中常用的方法。辅助函数的构造技巧性较强，要求学习怎样从题目所给条件进行分析推导，逐步导出所需的辅助函数或从所要证明的结论中倒出所要构造的辅助函数。还要充分重视直观与分析相结合的方法。常常是直观的几何图形会帮助我们去思考问题。

拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情形，罗尔定理又是拉格朗日中值定理的特殊情形，而它们的证明却是从特殊到一般。

参考资料来源：百度百科-微分中值定理

Answer 2

其实中值定理是有具体意义的。简单说，中值就是一个函数在某个区间或者区域中间的值。中值定理主要通过函数在区域边界或者区间端点的值去表示中间的值。有了中值定理，就可以帮助我们估算函数在整个区域或者区间里大致情况。数学上估算中值的方法大体上有利用微分（导数）的方法和利用积分的方法。因此也有微分中值定理和积分中值定理之分。
在现实计算中，我们很有可能只能观测到函数在边界或者区间端点的值。比如，在作电测量时，间断测量结果就是区间端点的值。基于中值定理，就可以估算它在区间上其它地方的值。因此，中值定理通常与最大、最小估值相关。数学本身是研究数值的，也不能说它不讲意义，它与其它事物之间的映射是一对多的。直观理解是抽象发展的基础。不能一概而论说数学不讲意义。

Answer 3

意义？
数学本来就是高度抽象的学科，在数学里谈意义，本身就是个很没有意义的问题！
如果非要说意义，你可以这样理解：
在一个固定的实数区间，其平均数必定可以用表示该区间连续、可导的某个函数的区间内值来表示！
你只能用几何来理解，其实说明你本身就没有关注中值定理，望你用数学的角度去理解数学，用数学的眼光看待数学！不然按照你的意思，欧拉，哥德巴赫，陈景润，王元都是吃饱撑的了！本回答被提问者采纳

Answer 4

对于连续函数f(x),若f(a)=f(b)=0,则必存在x属于(a,b),使得f'(x)=0;或若f(b)≠f(a),必有x属于(a,b),使得 f(b)-f(a)/b-a=f'(x)，称为微分中值定理。

微分中值定理是拉格朗日中值定理的推广，是微分学的基本定理之一。其几何意义为，用参数方程表示的曲线上至少有一点，它的切线平行于两端点所在的弦。

Answer 5

微分中值定理有几个，在同济版的高等数学上有罗尔微分中值定理，拉格朗日微分中值定理，柯西微分中值定理。柯西微分中值定理是拉格朗日的扩展，拉格朗日是罗尔的扩展。具体可以参考同济版高等数学上册。有兴趣可以自己推导一下这三个公式。