在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，AB=CD=4，BC=5，∠B的平分线交DC于点E，交AD的延长线于点F．

Question

在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，AB=CD=4，BC=5，∠B的平分线交DC于点E，交AD的延长线于点F．（1）如图（1），若∠C的平分线交BE于点G，写出图中所有的相似三角形（不必证明）；（2）在（1）的条件下求BG的长；（3）若点P为BE上动点，以点P为圆心，BP为半径的⊙P与线段BC交于点Q（如图（2）），请直接写出当BP取什么范围内值时，①点A在⊙P内；②点A在⊙P内而点E在⊙P外

Answer 1

1）△ABF∽△GBC，△FDE∽△CGE∽△BCE．

（2）∵BE平分∠B，
∴∠ABE=∠EBC，
∵AD∥BC，
∴∠AFB=∠EBC，
∴∠ABE=∠AFB，
∴AB=AF．
∴AF=4，DF=1．
∵AD∥BC，
∴DF：BC=DE：EC，
∴DE=

 

23

 

，CE=

 

103

 

．
∵AD∥BC，AB=CD，
∴∠BCD=∠ABC．
∵CG平分∠BCD，BE平分∠ABC，
∴∠CBG=∠BCG，
∴BG=CG．
设BG=CG=x，则由△FDE∽△CGE，得
DF：CG=DE：GE，
∴GE=

 

23

 

x．
又由△CGE∽△BCE，得
EC²=EG?EB，
即

(

103

)2

=

 

23

 

x?（x+

 

23

 

x），
∴x=

 

10

 

，
即BG=

 

10

 

．

（3）①连接AP，当BP=AP时，点A在圆P上，此时△ABP∽△ABF，求得BP=

 

45

 

10

 

，
即BP＞AP时，点A在⊙P内．
∴当

 

4510

＜BP≤

 

10

 

时，点A在⊙P内．