如图所示,半径为R的半圆O的直径为直角梯形垂直于两底的腰,且分别切AB,BC,CD于点A,E,D

Question

将其绕AD所在直线旋转一周，得到一个球和一个圆台，若球的表面积与圆台的侧面积的比是3：4，求圆台的体积。

Answer 1

由切线长定理，有：CD＝CE、AB＝BE，∴BC＝CD＋AB。
又球的表面积＝4πR^2，
圆台的表面积＝πCD^2＋πAB^2＋π（CD＋AB）×BC。
依题意，有：4×4πR^2＝3×［πCD^2＋πAB^2＋π（CD＋AB）×BC］
∴4×4πR^2＝3×［πCD^2＋πAB^2＋π（CD＋AB）^2］
∴（16/3）πR^2＝2（πCD^2＋πAB^2＋πCD×AB）
∴（πCD^2＋πAB^2＋πCD×AB）＝（8/3）πR^2
∴圆台的体积＝（πCD^2＋πAB^2＋πCD×AB）×AD/3＝（8/9）π×AD×R^2＝（16/9）πR^3。追问

这里并不是圆台表面积，而是侧面积
答案为26/9πR^3.求详细解答

追答

对不起！是我太粗心了，在此向你表示歉意，并更正如下：

由切线长定理，有：CD＝CE、AB＝BE，∴BC＝CD＋AB。
又球的表面积＝4πR^2，　圆台的侧面积＝π（CD＋AB）×BC。
依题意，有：4×4πR^2＝3×π（CD＋AB）×BC＝3×π（CD＋AB）^2
∴CD^2＋AB^2＋2CD×AB＝（16/3）R^2。······①

由勾股定理，有：（AB－CD）^2＋AD^2＝BC^2，
∴（AB－CD）^2＋（2R）^2＝（AB＋CD）^2，
∴AB^2＋CD^2－2CD×AB＋4R^2＝AB^2＋CD^2＋2CD×AB，
∴CD×AB＝R^2。······②

①－②，得：CD^2＋AB^2＋CD×AB＝（13/3）R^2。
∴圆台的体积＝π（CD^2＋AB^2＋CD×AB）×AD/3＝（13/9）π×AD×R^2
　＝（26/9）πR^3。

参考资料：http://zhidao.baidu.com/question/294240527.html