在
三角形ABC中,若a*OA向量+b*OB向量+c*OC向量=0向量,证明:O为三角形ABC内心.
在三角形ABC中,若a*OA向量+b*OB向量+c*OC向量=0向量,且a,b,c为三角形三个内角对应三边长,证明:O为三角形ABC内心.
在纸上先把图画出来,然后延长CO交AB于D:以下全部为向量
所以OA=OD+DA,OB=OD+DB,依题意得:
aOA+bOB+cOC=0
所以,a(OD+DA)+b(OD+DB)+cOC=0
又因为,OD与OC共线,DA与DB共线,所以不妨设,OD=kOC
原式变为:(k(a+b)+c)OC+(aDA+bDB)=0
所以,aDA=-bDB,所以DA与DB的长度之比为b/a,所以CD为
角平分线.同理可证其他的两条也是角平分线.
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