一元三次方程的一般解法

Question

如题所述

Answer 1

一元三次方程的一般解法
2 年前
结论
对于一般的一元三次方程  ,上式除以a，并设  ,则可化为如下形式：

 (1)

其中， 

(1)式的根为：



其中  ,  为根的判别式。

当  时，有一个实根与两个复根；

当  时，有三个实根。当p=q=0时，有一个三重零根；当  时，三个实根中有两个相等；

当  时,有三个不等实根。

详细推导
已知任意一元三次方程可以改写为如下形式：

 （1）

其中：

根据立方公式有：



变形为：

 (2)

若将m+n视作y，则与(1)式雷同。

令 

则式(1)可表示为：  (3)

由式(2)可知，  一定是方程(3)的解。

则式(3)可以写成(y-m-n)与y的二次方程的积的形式。

可利用长除法获得该二次方程为 

即式(3)可以写为： 

y另外两个解根据平方公式有：



由此y的三个根分别为：

 （4）

其中，  .

根据  及前设  ，若mn可写成pq的表达式，则根的计算完成。



结合  可解得，



至此，结合式(4)，即可得到三次方程的三个根。考虑之前的恒等式  ,则可推出任意一般三次方程的三个解。

Answer 2

Answer 3

在高中阶段，学生遇到的三次方程，通常很容易看出一个根。比如你题目中的方程，易看出k=a是一个根。然后用(k-a)这个因式去除方程左边的多项式，可以得到商为k²+10ak+34a²=(k+5a)²+9a²
这样我们就把k³+24a²k+9ak²-34a³因式分解为(k-a)(k²+10ak+34a²) ，就容易解啦。