如图，在RT△ABC中，<B=90°，AB=1，BC=√3，点M,N分别在边AB和AC上（M点和B点不重合），

Question

如图，在RT△ABC中，<B=90°，AB=1，BC=√3，点M,N分别在边AB和AC上（M点和B点不重合），将△AMN沿MN翻折，△AMN变为△A'MN,使顶点A'落在边BC上（A'点和B点不重合）．设<AMN=a．
（1）用a表示＜BA'M和线段AM的长度，并写出a的取值范围；
（2）求线段AN长度的最小值

Answer 1

答案：∠BA'M=2a-90°    AM=1/[2*(sina)^2]   45°<a<90°    ANmin=2/3

解：

    因为在RT△ABC中，<B=90°，AB=1，BC=√3  所以∠A=60° 

       因为△AMN全等△A'MN   所以各种对应相等

       因为∠BMA'+∠BA'M=90° ① ∠AMN+∠A'MN+∠BMA'=180°  ②

       因为∠AMN=∠A'MN=a  与①②联立解得：∠BA'M=2a-90° 

       连结AA'交MN于O  因为全等 所以AA'⊥MN于O

       所以RT△AMO相似RT△AA'B  所以∠AA'B=a

       所以AB/AA'=sina ③    AO=1/2AA' ④    AO/AM=sina  ⑤

       因为AB=1 与③④⑤联立解得： AM=1/[2*(sina)^2] 

       

       因为 ∠AMN+∠A'MN+∠BMA'=180°  =2a+∠BMA'  因为∠BMA' >0°  所以a<90°

       因为  ∠BA'M=2a-90° >0°   所以a>45°

因为AB=AN*cos∠A+A'N*sin∠NA'B

      AN=A'N   ∠NA'B=∠BA'M+∠MA'N

      ∠BA'M=2a-90°  ∠MA'N=∠A=60°  AB=1

      代入得：AN*[cos60°+sin(2a-90° +60°)]=1

所以当AN取最小值时

cos60°+sin(2a-90° +60°)取最大值  所以当a=60°时 取得最大值1.5

所以AN*1.5=1  所以AN=2/3