1、准备工作
要使用分部积分
需要求出arcsinx的导数
y=arcsinx
则y'=1/√(1-x^2)
思路如下,利用反函数求导数技巧:
y=arcsinx,
那么siny=x,
求导得到,cosy *y'=1
即 y'=1/cosy=1/√[1-(siny)^2]=1/√(1-x^2)
2、解题思路
分部积分法
∫ arcsinx dx
= x arcsinx - ∫ x darcsinx
= x arcsinx - ∫ [x/√(1-x^2)] dx
= x arcsinx + (1/2) ∫ [1/√(1-x^2)] d(1-x^2)
= x arcsinx + √(1-x^2) +C
用分部积分法得
I = ∫ arcsinx dx = x arcsinx - ∫ [x/√(1-x^2)] dx
= x arcsinx + (1/2) ∫ [1/√(1-x^2)] d(1-x^2) = x arcsinx + √(1-x^2) +C
I = ∫ arccosx dx = x arccosx + ∫ [x/√(1-x^2)] dx
= x arccosx - (1/2) ∫ [1/√(1-x^2)] d(1-x^2) = x arccosx - √(1-x^2) +C
I = ∫ arctanx dx = x arctanx - ∫ [x/(1+x^2)] dx
= x arctanx - (1/2) ∫ [1/(1+x^2)] d(1+x^2) = x arctanx - (1/2)ln(1+x^2) +C
不定积分的公式
1、∫ a dx = ax + C,a和C都是常数
2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C,其中a为常数且 a ≠ -1
3、∫ 1/x dx = ln|x| + C
4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C,其中a > 0 且 a ≠ 1
5、∫ e^x dx = e^x + C
6、∫ cosx dx = sinx + C
7、∫ sinx dx = - cosx + C
8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C
9、∫ tanx dx = - ln|cosx| + C = ln|secx| + C
10、∫ secx dx =ln|cot(x/2)| + C = (1/2)ln|(1 + sinx)/(1 - sinx)| + C = - ln|secx - tanx| + C = ln|secx + tanx| + C