球谐光照与PRT学习笔记（三）：球谐函数

Question

如题所述

Answer 1

深入解析球谐(Spherical Harmonics, SH)：光与数学的和谐之旅

在光渲染的世界里，球谐函数如同调和乐章中的美妙旋律，源自拉普拉斯方程的精妙解答，它在三维球面的广阔舞台上展开其独特的舞蹈。SH的基底，那些球谐基函数，就如同正交音乐中的和声，彼此之间保持着精确的正交性，它们为光照模拟提供了强大的数学工具。

勒让德多项式，这组正交多项式的瑰宝，是构建SH世界的关键。它们是球坐标系中拉普拉斯方程的优雅解，被划分为不同带的序列，赋予了球谐函数丰富多样的结构。伴随勒让德多项式(ACLP)更是锦上添花，其两个参数—带数和序列号，为SH的定义提供了严谨的数学基础。

球谐函数的王国并非无限广阔，但每一项都有其独特的意义。它们在实球面上的解析表达，结合伴随勒让德多项式和缩放系数，为我们揭示了一种优雅的数学语言。计算高阶球谐多项式的递推法则，如eq.2和eq.3，就像作曲家的乐谱，指引着我们一步步进入这个美妙的领域。

在实际应用中，如光线跟踪技术（PRT）中，球谐函数的系数是关键。通过二重傅立叶级数的展开，实球谐函数的可视化帮助我们直观理解其在光照模拟中的作用。而求解这些系数的过程，通常依赖于蒙特卡洛积分的巧妙运用，就像在乐谱上精确地演奏每一个音符。

以下是一个简洁的蒙特卡洛积分求解球谐系数的代码片段，展示了计算的精妙：

void SH_Coefficients() {
double weight = 4.0 * PI;
for (int i = 0; i < n_samples; ++i) {
for (int n = 0; n < n_coeff; ++n) {
result[n] += light(θ, ϕ) * samples[i].SH_basis_coeff[n];
}
}
result *= weight / n_samples;
}

球谐函数在光照模拟中的应用广泛，尤其在低频环境光的编码，如天光，它们是构建真实光照效果的不可或缺的元素。而在PRT和着色算法中，SH操作更是发挥着不可或缺的作用，如同色彩的调色板，为光影世界注入了无尽的生机。

接下来，我们将深入探讨球谐函数的性质，以及它们在面对旋转和变换时的优雅应对。让我们一同踏上这场数学与光的交响之旅，揭示更多关于球谐函数的迷人秘密。