证明定理：若向量组A可由向量足B线性表出,且A的向量数大于B的向量数,则A向量组线性相关

Question

如题所述

Answer 1

这个证明不难，你随便找本“高等代数”的教材都能看到。

反证法：
你可以假设A线性无关， 取C为B的极大无关组，则显然A中的向量能由C线性表示
因此 以A为基张成的向量空间 包含于以C为基张成的向量空间， 也就是说spanA是spanC的子空间
所以显然 维数 dim spanA <= dim spanC
可是有限维线性空间的基中的向量个数就等于其维数，这与A的向量数 大于 B的向量数（当然就大于B的子集C的向量数） 矛盾。

证明方法非常多的，不难的，一般都是用反证法，或者用用归纳法什么的。

Answer 2

证：由题目 设 向量组 A有r个向量 向量组 B有s个向量 r>s

A可以由B线性表示
那么 A的秩小于等于B的秩<=S （这是书上的定理 证明也有）

因为A的秩<=s<r 即A的秩<A中向量个数r
所以线性相关 （书上定理 ）

证毕本回答被提问者采纳

Answer 3

考虑设A向量组线性组合为o,其组合系数是一组未知量
然后A向量组向量由B向量组线性表出，从而A向量组向量由B向量组的极大无关组线性表出
将其代入前设A向量组线性组合为o的向量组方程，则可得前述一组未知量的线性方程组
显然未知量的个数等于A的向量数,方程的个数等于B向量组的极大无关组向量数
因为A的向量数大于B的向量数，B的向量数又不小于其极大无关组向量数
所以前述一组未知量的线性方程组中未知量个数大于方程的个数
这个线性方程组有非零解,即这组未知量不全为零
故A向量组线性相关