全等三角形的动点问题

Question

在△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D,E证明DE=BD+CE
（2）将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D,A,E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角，求DE=BD+CE是否成立。
（3）如图（3）D、E是D,A,E三点所在直线m上的两动点，（D、A、E三点不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD，CE求∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状。

Answer 1

证明：（1）∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，
∵∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD，
∵在△ADB和△CEA中

∠ABD＝∠CAE∠BDA＝∠AECAB＝AC

，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE；

 

（2）成立．
∵∠BDA=∠BAC=α，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α，
∴∠CAE=∠ABD，
∵在△ADB和△CEA中

∠ABD＝∠CAE∠BDA＝∠AECAB＝AC

，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE；

（3）△DEF是等边三角形．
由（2）知，△ADB≌△CEA，
BD=AE，∠DBA=∠CAE，
∵△ABF和△ACF均为等边三角形，
∴∠ABF=∠CAF=60°，
∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，
∴∠DBF=∠FAE，
∵BF=AF
在△DBF和△EAF中

FB＝FA∠FBD＝∠FAEBD＝AE

，
∴△DBF≌△EAF（SAS），
∴DF=EF，∠BFD=∠AFE，
∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，
∴△DEF为等边三角形．