知识要点梳理
知识点一：幂的运算
1、同底数幂的乘法：
(m,n为正整数)；
同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。
如：
注：此性质可以逆用，即。如：已知，则＝5×7＝35。另外三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即(m、n、p都是正整数)
2、幂的乘方：
(m,n为正整数)；
幂的乘方，底数不变，指数相乘。如：，
幂的乘方法则可以逆用：即，如：.
注：注意不要把幂的乘方与同底数幂的乘法混淆，前者是指数相乘，后者是指数相加。
3、积的乘方：
(n为正整数)；
积的乘方，等于各因数乘方的积。
如：（=
注：在积的乘方运算中很容易将底数中某一项或几项不乘方而出现错误，所以在进行积的乘方运算时应先确定底数有几项，然后将这几项全都乘方，再将结果相乘。
4、同底数幂的除法：
(a≠0, m,n为正整数，并且m＞n).
同底数幂相除，底数不变，指数相减。如：
5、零指数幂和负指数：
即任何不等于零的数的零次方等于1。
（是正整数），即一个不等于零的数的次方等于这个数的次方的倒数。如：
注：根据同底数幂除法的运算性质(a≠0, m,n为正整数，并且m＞n)，当指数相同时，则有，从而诠释了“任何不等于0的数的0次幂都等于1”的道理，同时，又将同底数幂除法的运算性质中m＞n的条件扩大为m≥n；而当m＜n时，仍然使用，则m－n＜0，便出现了负指数幂 ( a≠0, p为正整数)；至此，同底数幂除法的运算性质的适用范围已不必再过分的强调m、n之间的大小关系，m、n的值也由正整数扩大到全体整数了.
知识点二：整式乘法
1、单项式乘以单项式
单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。如：
2、单项式乘以多项式
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。即(都是单项式).
3、多项式乘以多项式
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。即.
如：
注：①运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．
②在多项式乘法中，通过实例得出了：含有一个相同字母的两个一次二项式相乘，得到的积是同一个字母的二次三项式 . 如果用a,b分别表示含有一个系数是1的相同字母的两个一次二项式中的常数项，则有公式：(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab。
知识点三：乘法公式
1、平方差公式：
(a＋b)(a－b)＝a2－b2；
公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。右边是相同项的平方减去相反项的平方。
2、完全平方公式：
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；(a－b)2＝a2－2ab＋b2.
完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，加上（或减去）首尾乘积的2倍。
注：
① 应用乘法公式时，应避免出现以下错误，如，，
等等；
② 注意乘法公式的灵活正用和逆用问题．
③ 三项式的完全平方公式：.
知识点四：整式的除法
整式的除法是以同底数幂的除法为基础的，主要涉及单项式除以单项式，多项式除以单项式两种情况。运算法则是：
1、单项式相除：
把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。
如：.
注：①系数先相除，所得的结果作为商的系数，特别注意系数包括前面的性质符号．
②被除式里单独有的字母及其指数，作为商的一个因式，不要遗漏．
③要注意运算的顺序，有乘方先算乘方，有括号先算括号里．特别是同级运算一定要从左至右，
如： ，而不是
2、多项式除以单项式：
先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。
即：
注：①多项式除以单项式所得商的项数与这个多项式的项数相同．
②用多项式的每一项除以单项式时，商中的每一项的符号由多项式中的每项的符号与单项式的符
号共同确定．
知识点五：因式分解
把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等。
要点诠释：
(1) 因式分解的对象是多项式，因式分解的结果一定是整式乘积的形式；
(2) 因式分解的一般步骤是：首先看有无公因式，然后判断是否可以套用公式，十字相乘法,最后考虑
分组分解，添、拆项法。
分解因式必须进行到每一个因式都不能再分解为止，一般情况是，最后结果只有小括号并且每个
小括号中多项式首项系数为正。例如： -3x2+x=-x(3x-1)
(3) 提公因式法的关键是确定公因式。即①取各项系数的最大公约数②字母取各项的相同的字母③各
相同字母的指数取次数最低的；
(4) 运用公式法时要注意判断是否符合公式要求，并牢记公式的特征；
(5) 分组分解的关键是适当分组，先使分组后各组中能分解因式，再使因式分解能在各组之间进行。
规律方法指导
1、整式的乘法与因式分解在意义上正好相反,结果的特征是因式分解是积的形式,整式的乘法是和的形
式,抓住这一特征,就不容易混淆因式分解与整式的乘法.
2、因式分解的一般步骤及注意问题：
（1）对多项式各项有公因式时，应先提公因式。
在提取公因式的过程中有很多情况应该先将所给的多项式中的某一部分进行变形，然后才能提取
公因式或者利用公式进行分解因式。常用的变形公式是：和
(n为正整数)，即当次数是偶数时，可以随意改变括号里面的减数和被
减数的位置，当次数是奇数时，在改变减数和被减数的位置之后，应该在括号的前面加一个负
号．
（2）多项式各项没有公因式时，如果是二项式就考虑是否符合平方差公式；如果是三项式就考虑是否
符合完全平方公式或二次三项式的因式分解；如果是四项或四项以上的多项式，通常采用分组分
解法。
（3）分解因式，必须进行到每一个多项式都不能再分解为止。
总结为：一提：提公因式、提负号；
二套：二项式套平方差，三项式套完全平方式和十字相乘法；
三看：看是否分解完.
3、在本章中多次运用转化与化归的思想方法，例如单项式乘以单项式可以转化为有理数乘法和同底数
幂的乘法运算；单项式乘以多项式以及多项式乘以多项式都可以转化为单项式乘以单项式。
4、整体代换的思想方法在乘法公式中表现的特别典型，公式中的字母不仅可以代表数，而且可以表示
代数式。正是由于整体代换的思想，乘法公式才能得到广泛的应用。再比如，在研究多项式乘多项
式法则时，是把看成一个整体，运用单项式乘以多项式的法则，得到
然后再运用“单多”的运算法则即可得到
。在分解因式时，可以把看成一
个整体，提公因式，即原式=。
5、本章所学的公式和法则都是既可正向运用又可逆向运用的。进行整式乘法运算时，逆用公式可使计
算简便。
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