在数学中，如果某个变化的量无限地逼近于一个确定的数值，那么该定值就叫做变化的量的极限。
数列极限
定义
设|Xn|为一无穷数列，如果存在常数a对于
任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在
正整数N，使得当n>N时的一切Xn，均有不等式|Xn - a|<ε都立，那么就称常数a是数列|Xn|的极限，或称数列{Xn}收敛于a。记为
lim Xn = a 或Xn→a（n→∞）
如果数列没有极限，就说数列发散。
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性质
1.唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的，且其子数列的极限与原数列的相等；
2.有界性：如果一个数列{xn}收敛（有极限），那么这个数列{xn}一定有界。
但是，如果一个数列有界，这个数列未必收敛。例如{xn}：1，-1，1，-1，……（-1）^n+1，……
3.
保号性：如果一个数列{xn}收敛于a，且a>0（或a<0)，那么存在正整数N>0，当n>N时，都有xn>0(或xn<0)。
4.
收敛数列与其子列间的关系：（通俗讲：改变数列的有限项，不改变数列的极限。）如果数列{xn}收敛于a，那么它的任意子数列也收敛，且极限也是a。
常用数列的极限
当n→∞时，有
An=c 极限为c
An=1/n 极限为0
An=x^n （∣x∣小于1） 极限为0
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数列极限存在的
充分条件夹逼原理
设有数列{An}，{Bn}和{Cn}，满足 An ≤ Bn ≤ Cn, n∈Z*，如果lim An = lim Cn = a ,
则有 lim Bn = a.
单调收敛定理
单调有界数列必收敛。[是实数系的重要结论之一，重要应用有证明极限 lim(1+1/n)^n 的存在性]
柯西收敛准则
设{Xn}是一个数列，如果任意ε>0, 存在N∈Z*, 只要 n 满足 n > N ,则对于任意正整数p,都有
|X(n+p) - Xn | < ε . 这样的数列{Xn}称为柯西数列，
这种渐进稳定性与收敛性是等价的。即互为
充分必要条件。
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函数极限
专业定义
设函数f(x)在点x。的某一
去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ ，使得当x满足不等式0<|x-x。|<δ 时，对应的函数值f(x)都满足不等式：
|f(x)-A|<ε
那么常数A就叫做函数f(x)当 x→x。时的极限。
通俗定义
1、设函数y=f(x)在(a,+∞)内有定义，如果当x→+∞时，函数f(x)无限接近一个确定的常数A，则称A为当x趋于+∞时函数f(x)的极限。记作limf(x)=A ，x→+∞。
2、设函数y=f(x)在点a左右近旁都有定义，当x无限趋近a时（记作x→a），函数值无限接近一个确定的常数A，则称A为当x无限趋近a时函数f(x)的极限。记作lim f(x)=A ，x→a。
函数的左右极限
1：如果当x从点x=x0的左侧（即x〈x0）无限趋近于x0时，函数f(x)无限趋近于常数a,就说a是函数f(x)在点x0处的左极限，记作x→x0-limf(x)=a.
2:如果当x从点x=x0右侧（即x>x0)无限趋近于点x0时，函数f(x)无限趋近于常数a,就说a是函数f(x)在点x0处的右极限，记作x→x0+limf(x)=a.
注：若一个函数在x（0）上的左右极限不同则此函数在x（0）上不存在极限
一个函数是否在x(0)处存在极限，与它在x=x(0)处是否有定义无关，只要求y=f(x)在x(0)附近有定义即可。
两个重要极限
1、x→0，sin(x)/x →1
2、x→0，（1 + x）^1/x→e或 x→∞ ，（1 + 1/x）^x→e
x→∞ ，（1 + 1/x）^（1/x） → 1
（其中e≈2.7182818...是一个
无理数）
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函数极限的运算法则
设lim f(x) ，lim g(x)存在，且令lim f(x) =A, lim g(x)=B，则有以下运算法则，
线性运算
加减：
lim ( f(x) ± g(x) )= A ± B
数乘：
lim( c* f(x)）= c * A （其中c是一个常数）
非线性运算
乘除：
lim( f(x) * g(x))= A * B
lim( f(x) / g(x)) = A / B ( 其中B≠0 )
幂：
lim( f(x) ) ^n = A ^ n
极限的求法有很多中：
1、连续
初等函数，在
定义域范围内求极限，可以将该点直接代入得极限值，因为
连续函数的极限值就等于在该点的函数值
2、利用恒等变形消去零因子（针对于0/0型）
3、利用无穷大与无穷小的关系求极限
4、利用无穷小的性质求极限
5、利用
等价无穷小替换求极限，可以将原式化简计算
6、利用两个极限存在准则，求极限，有的题目也可以考虑用放大缩小，再用夹逼定理的方法求极限
7、利用两个重要极限公式求极限
8、利用左、右极限求极限，（常是针对求在一个间断点处的极限值）
9、洛必达法则求极限
其中，最常用的方法是洛必达法则，等价无穷小代换，两个重要极限公式。
在做题时，如果是分子或
分母的一个因子部分，如果在某一过程中，可以得出一个不为0的常数值时，我们常用数值直接代替，进行化简。另外，也可以用等价无穷小代换进行化简，化简之后再考虑用洛必达法则。