一、集合与常用逻辑
空集
子集 :任意
1．四种命题
原命题 逆否命题 否命题 逆命题
2．充分必要条件：p是q的充分条件 p是q的必要条件： p是q的充要条件：
3．复合命题的真值
①q真（假）⇔“ ”假（真）②p、q同真⇔“p∧q”真 ③p、q都假⇔“p∨q”假
4.全称命题、存在性命题的否定
二、函数概念与性质
1．奇偶性
f(x)偶函数 f(x)图象关于 轴对称
f(x)奇函数 f(x)图象关于原点对称
注：①f(x)有奇偶性 定义域关于原点对称
②f(x)奇函数,在x=0有定义 f(0)=0
③“奇+奇=奇”（公共定义域内）
2．单调性
f(x)增函数：x1＜x2 f(x1)＜f(x2) 或x1＞x2 f(x1) ＞f(x2)
或
f(x)减函数：？
注：①判断单调性必须考虑定义域
②f(x)单调性判断
定义法、图象法、性质法“增+增=增”
③奇函数在对称区间上单调性相同
偶函数在对称区间上单调性相反
3．周期性
是 周期 恒成立（常数 ）
4．二次函数
解析式： f(x)=ax2+bx+c，f(x)=a(x-h)2+k
f(x)=a(x-x1)(x-x2)
对称轴： 顶点：
单调性：a>0， 递减， 递增
当 ，f(x)min
奇偶性：f(x)=ax2+bx+c是偶函数 b=0
闭区间上最值：
配方法、图象法、讨论法---
注意对称轴与区间的位置关系
注：一次函数f(x)=ax+b奇函数 b=0
三、基本初等函数
1．指数式
2．对数式 （a>0,a≠1）
注：性质
常用对数 ，
自然对数 ，
3．指数与对数函数 y=ax与y=logax
定义域、值域、过定点、单调性？
注：y=ax与y=logax图象关于y=x对称
（互为反函数）
4．幂函数
在第一象限图象如下：
四、函数图像与方程
1．描点法
函数化简→定义域→讨论性质（奇偶、单调）
取特殊点如零点、最值点等
2．图象变换
平移：“左加右减，上正下负”
伸缩：
对称：“对称谁，谁不变，对称原点都要变”
注：
翻折： 保留 轴上方部分，
并将下方部分沿 轴翻折到上方
保留 轴右边部分，
并将右边部分沿 轴翻折到左边
3．零点定理
若 ，则 在 内有零点
（条件： 在 上图象连续不间断）
注：① 零点： 的实根
②在 上连续的单调函数 ，
则 在 上有且仅有一个零点
③二分法判断函数零点--- ？
五、导数及其应用
2．导数公式
（C为常数）
= = .
3．导数应用
单调性：如果 ，则 为增函数
如果 ，则 为减函数
极大值点：在x 附近 “左增右减↗↘”
极小值点：在x 附近 “左减右增↘↗” 注
求极值： 定义域→ → 零点→列表：
范围、 符号、 增减、 极值
求[a，b]上最值： 在(a，b)内极值与ƒ(a)、ƒ(b)比较
4．三次函数（利用导数中图像的特征、单调性、极值）
图象特征：“↗↘↗” “↘↗↘”
极值情况: 有极值 无极值
5．定积分
定理： 其中
性质： （k为常数）
应用：
①由直线x＝a，x＝b，x轴及曲线y＝f(x)
(f(x)≥0)围成曲边梯形面积
②如图，曲线y1＝f1(x)，y2＝f2(x)在[a，b]上
围成图形的面积S＝S曲边梯形AMNB－S曲边梯形DMNC
＝
六、三角函数
1．概念 第二象限角 ( )
2．弧长 扇形面积
3．定义
其中 是 终边上一点，
4．符号 “一正全、二正弦、三正切、四余弦”
5．诱导公式：“奇变偶不变，符号看象限”
如 ，
6．基本公式
同角
和差
倍角
降幂cos2α= sin2α=
叠加
9．解三角形
基本关系：sin(A+B)=sinC cos(A+B)=-cosC
tan(A+B)=-tanC
正弦定理： = =
余弦定理：a2=b2+c2－2bccosA（求边）
cosA= （求角）
面积公式：S△＝ absinC
注： 中，A+B+C=？
a2＞b2+c2⇔∠A＞
七、数列
1、等差数列
定义： 通项：
求和： 中项：
性质：若 ，则
2、等比数列
定义： 通项：
求和： 中项：
性质：若 则
3、数列通项与前 项和的关系
4、数列求和常用方法
公式法、裂项法、 错位相减法、倒序相加法
八、不等式
1．一元二次不等式解法
若 ， 有两实根 ，则
解集
解集
注：若 ，转化为 情况
2．其它不等式解法—转化
或
（ ）
（ ）
3．基本不等式
①
②若 ，则
注：用均值不等式 、
求最值条件是“一正二定三相等”
4．平面区域与线性规划
不等式表示的平面区域判断：
①在直线 一侧取一个特殊点
（通常是原点）
②由 的正负，判断 表示
直线哪一侧的平面区域
注：直线同侧所有点的坐标代入 ，得到实数的符号都相同
线性规划问题的一般步骤：
①设所求未知数；②列约束条件（不等式组）；
③建立目标函数；④作可行域；⑤求最优解
例：设 满足
求 最值
当 过 时， 最大，
当 过 时， 最小
九、复数与推理证明
1．复数概念
复数： (a,b ，实部a、虚部b
分类：实数（ ），虚数（ ），复数集C
注： 是纯虚数 ，
相等：实、虚部分别相等
共轭： 模：
复平面：复数z对应的点
2．复数运算
加减：（a+bi）±(c+di)=？
乘法：（a+bi）（c+di）=？
除法： = ==…
乘方： ，
3．合情推理
类比：特殊推出特殊 归纳：特殊推出一般
演绎：一般导出特殊（大前题→小前题→结论）
4．直接与间接证明
综合法：由因导果
比较法：作差—变形—判断—结论
反证法：反设—推理—矛盾—结论
分析法：执果索因
分析法书写格式：
要证A为真，只要证B为真，即证……，
这只要证C为真，而已知C为真，故A必为真
注：常用分析法探索证明途径，综合法写证明过程
5．数学归纳法：
(1)验证当n=1时命题成立,
(2)假设当n=k(kÎN* ，k³1)时命题成立,
证明当n=k+1时命题也成立
由(1)(2)知这命题对所有正整数n都成立
注：用数学归纳法证题时，两步缺一不可，归纳假设必须使用
三．算法案例
1、求两个数的最大公约数
辗转相除法：到达余数为0
更相减损术：到达减数和差相等
2、多项式f(x)= anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0的求值
秦九韶算法： v1=anx+an－1 v2=v1x+an－2
v3=v2x+an－3 vn=vn－1x+a0
注：递推公式v0=an vk=vk－1X+an－k(k=1,2,…n)
求f(x)值，乘法、加法均最多n次
3、进位制间的转换
k进制数转换为十进制数：
十进制数转换成k进制数：“除k取余法”
例1辗转相除法求得123和48最大公约数为3
例2已知f(x)=2x5－5x4－4x3+3x2－6x+7，秦九韶算法求f(5)
123＝2×48＋27 v0=2
48＝1×27＋21 v1=2×5－5=5
27＝1×21＋6 v2=5×5－4=21
21＝3×6＋3 v3=21×5+3=108
6＝2×3+0 v4=108×5－6=534
v5=534×5+7=2677
十一、平面向量
1．向量加减 三角形法则，平行四边形法则
首尾相接， = 共始点
中点公式： 是 中点
2． 向量数量积 = =
注：① 夹角：00≤θ≤1800
② 同向：
3．基本定理 （ 不共线--基底）
平行： （ ）
垂直：
模： ＝
夹角：
注：① ∥ ② （结合律）不成立
③ （消去律）不成立
十二、立体几何
1．三视图 正视图、侧视图、俯视图
2．直观图：斜二测画法 =450
平行X轴的线段，保平行和长度
平行Y轴的线段，保平行，长度变原来一半
3．体积与侧面积
V柱=S底h V锥 = S底h V球= πR3
S圆锥侧= S圆台侧= S球表=
4．公理与推论 确定一个平面的条件：
①不共线的三点 ②一条直线和这直线外一点
③两相交直线 ④两平行直线
公理：平行于同一条直线的两条直线平行
定理：如果两个角的两条边分别对应平行，
那么这两个角相等或互补。
5．两直线位置关系 相交、平行、异面
异面直线——不同在任何一个平面内
6．直线和平面位置关系
7．平行的判定与性质
线面平行：
∥ ， ∥
∥ ， ∥
面面平行：
∥ ， ∥ 平面 ∥
∥ ， ∥
8．垂直的判定与性质
线面垂直：
面面垂直：
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面垂直；
若两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
三垂线定理：
在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直
逆定理？
9．空间角、距离的计算
异面直线所成的角 范围（0°，90°]
平移法：转化到一个三角形中，用余弦定理
直线和平面所成的角 范围[0°，90°]
定义法：找直线在平面内射影，转为解三角形
二面角 范围[0°，180°]
定义法：作出二面角的平面角，转为解三角形
点到平面的距离
体积法--用三棱锥体积公式
注：计算过程，“一作二证三求”， 都要写出
10．立体几何中的向量解法
法向量求法：设平面ABC的法向量 =（x,y）
解方程组，得一个法向量
线线角：设 是异面直线 的方向向量，
所成的角为 ，则
即 所成的角等于 或
线面角：
设 是平面 的法向量， 是平面 的
一条斜线， 与平面 所成的角为 ，
则
二面角：设 是面 的法向量，二面角 的大小为 ，则 或
即二面角大小等于 或
点到面距离：
若 是平面 的法向量，
是平面 的一条斜线段，且 ，
则点 到平面 的距离
十三、直线与圆
1、倾斜角 范围
斜率
注：直线向上方向与 轴正方向所成的最小正角
倾斜角为 时，斜率不存在
2、直线方程
点斜式 ，斜截式
两点式 ， 截距式
一般式
注意适用范围：①不含直线
②不含垂直 轴的直线
③不含垂直坐标轴和过原点的直线
3、位置关系（注意条件）
平行
垂直 垂直
4、距离公式
两点间距离：|AB|=
点到直线距离：
5、圆标准方程：
圆心 ，半径
圆一般方程： （条件是？）
圆心 半径
6、直线与圆位置关系
位置关系 相切 相交 相离
几何特征
代数特征
注：点与圆位置关系
点 在圆外
7、直线截圆所得弦长
十四、圆锥曲线
一、定义
椭圆： |PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|)
双曲线：|PF1|-|PF2|=±2a(0<2a<|F1F2|)
抛物线：与定点和定直线距离相等的点轨迹
二、标准方程与几何性质（如焦点在x轴）
椭圆 ( a>b>0) 双曲线 (a>0,b>0)
中心原点 对称轴？ 焦点F1(c,0)、F2(-c,0)
顶点: 椭圆(±a,0),(0, ±b)，双曲线(±a,0)
范围: 椭圆-axa,-byb
双曲线|x| a，yR
焦距：椭圆2c（c= ）
双曲线2c（c= ）
2a、2b:椭圆长轴、短轴长，
双曲线实轴、虚轴长
离心率：e=c/a 椭圆0<e<1,双曲线e>1
注：双曲线 渐近线
方程 表示椭圆
方程 表示双曲线
抛物线y2=2px(p>0) 顶点（原点） 对称轴（x轴）
开口（向右） 范围x0 离心率e=1 焦点 准线
十五、计数原理
1． 计数原理 加法分类，乘法分步
2．排列组合 差异---排列有序而组合无序
公式 = =
= =
关系：
性质： =
3．排列组合应用题
原则：分类后分步，先选后排，先特殊后一般
解法：相邻问题“捆绑法”，不相邻“插空法”
复杂问题“排除法”
4．二项式定理
特例
通项
注 ---第 项二项式系数 性质：所有二项式系数和为 中间项二项式系数最大 赋值法：取 等代入二项式
十六、概率与统计
1．加法公式：若事件 和 互斥，则
互斥事件:不可能同时发生的事件
对立事件:不同时发生，但必有一个发生的事件
2．常用抽样（不放回）
简单随机抽样：逐个抽取（个数少）
系统抽样：总体均分，按规则抽取（个数多）分层抽样：总体分成几层，各层按比例抽取
（总体差异明显）
3．用样本估计总体
众数：出现次数最多的数据
中位数：按从小到大，处在中间的一个数据
（或中间两个数的平均数）
平均数： 方差 标准差
4．频率分布直方图
小长方形面积=组距× =频率
各小长方形面积之和为1
众数—最高矩形中点的横坐标
中位数—垂直于 轴且平分直方图面积的直线与 轴交点的横坐标
茎叶图：由茎叶图可得到所有的数据信息如
众数、中位数、平均数等
十七、随机变量的概率分布
1．条件概率
A发生条件下B发生： 或
2．独立事件的概率
A、B同时发生：
一般：
若A与B独立，则 与 、 与 也相互独立
3．独立重复试验的概率
一次试验中事件A发生的概率是 , 次独立
重复这试验，事件A恰好发生 次：
4．离散型随机变量的概率分布：
x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
性质
5. 离散型随机变量的期望与方差
定义：
（平均值）
性质：
6．常用分布
两点分布 ： ，
二项分布 ： ，
超几何分布 ：
？
7．正态分布密度函数
性质：曲线在 轴上方、关于 对称，曲线与 轴围成面积为1
图中阴影部分面积
表示概率
8．标准正态分布 ：
可查表
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