关于洛朗级数展开式的问题

Question

f（Z）=1/（1+Z^2）
f（Z）在“Z-i”、“2<|Z-i|<+无穷”、“0<|Z-i|<2”这三个地方展开有什么区别吗？要怎么展开的，请写下展开过程！！

Answer 1

因为题目中的“z-i”不表示具体的范围，所以以下只考虑后两种情况。

因为后面两种情况的圆环中心都是z=i，所以要考虑得到(z-i)的形式，并凑出几何级数的形式：

当2<|z-i|<+∞时，下方蓝色矩形框中的部分满足几何级数的展开式，因此得到

当0<|z-i|<2时，上方红色矩形框中的部分满足几何级数的展开式，因此得到

追问

这个展开形式和展开单位是如何对应的

这个展开形式和展开范围是如何对应的，一个提取2i一个提取z-i

追答

其实这两个问题我前面已经回答了：

(1)展开形式的确定：

也就是说，每一项必须是c(n)*(z-i)^n这种形式；

(2)如何根据圆环的范围确定展开的方式：

这是由几何级数的收敛域决定的，就是上图中强调的|w|<1



追问

根据圆环的范围确定展开式是不是这样的:
|i(z-i)/2|2

追答

是的