无法证明本题中的结论。因为AE⊥BE,AD+BC=AB,
缺少同时成立的条件。
证明:
设AB的中点O,DC中点为E,
过AB中点O作圆O,连接OE,
则有OE=1/2•(AD+BC)=1/2•AB
∴点E在圆O上,
∴∠AEB=RT∠
则AE⊥BE符合本题假设,
可见OE是梯形的中位线
E是DC上唯一的中点
也就是说E是CD与圆O唯一的交点,
∴CD与圆O相切于E,
故OE⊥CD
可是OE∥AD∥BC(中位线啊)
∴AD⊥CD
但是本题没有这个条件,所以无法使AE⊥BE,AD+BC=AB,
同时成立。
如果DC⊥AD,则命题是真命题;如果DC不与两底垂直,则命题仅是可能的情况之一。见附图。
在AB上取一点F,使AF=AD,那么FB=BC,连接FD、FC。
∵AD∥BC,△AFD和△BFC都是等腰三角形,可证∠AFD+∠BFC=90°,△DFC是直角三角形;
作FD和FC的垂直平分线则两垂直平分线一条过A点,另一条过B点,且两线互相垂直,其交点E是直角三角形DFC的外心,故E点必是DC的中点。还有AE平分∠BAD,BE平分∠ABC。这些都是题目希望的结论。
应当看到,因为E是过A、B的两垂线的交点,所以E点在以AB中点M为圆心以AB/2为半径的⊙M上,ME是梯形的中位线,如果DC⊥AD,则⊙M与DC相切,E点在DC上是唯一的,这时题目是真命题。如果DC不与AD垂直,那么⊙M与DC有两个交点:除了DC的中点E还有另一点E'。显然E'不是DC的中点,从而E'不具备E点的所有性质。(附图中未画出⊙M)