求极限。无穷小量的代换.恒等变形。例如e^x-1恒等于x。。sinx恒等于x。这种代换的适用范围是哪里

Question

如图。这种类型的比较题，能用恒等变形比较么，e^tanx等价

Answer 1

适用范围是当x趋于零时，等价无穷小的函数在分子分母中可以约去。就此题的具体操作如下图：

Answer 2

不能。能用等价量替换的原则必须是因子形式出现的，也就是乘除法关系的。比如表达式是(e^x--1)乘以一个什么东西，这时e^x--1可以用x代替，但如果是e^x--1与别的内容加减，就不能代换。

e^tanx--e^x=e^x【e^(tanx--x)--1】等价于e^(tanx--x)--1等价于tanx--x=(sinx--xcosx)/cosx
等价于sinx--xcosx=x--x^3/6--x(1--x^2/2)+小o(x^3)=x^3/3+小o(x^3)，因此n=3。本回答被提问者采纳

Answer 3

需 lim(x--->0)(tanx)/x^n=1
需 lim(x--->0)(tanx)/x^n
=lim(x--->0)（sec²x)/[nx^(n-1)]=1
∵lim(x--->0)（sec²x)=1
∴lim(x--->0)nx^(n-1)=1
∴n=1追问

它答案等于3.他是同阶不等价的

追答

图片没看清处
需 lim(x--->0)(e^tanx-e^x)/x^n=1
需 lim(x--->0)(sec²xe^tanx-e^x)/[nx^(n-1)]=1
需 lim(x--->0)(-2sec³xsinx e^tanx+sec⁴xe^tanx-e^x)/[n(n-1)x^(n-2)]=1
lim(x--->0)[-2sec³xe^tanx (sinx+secx)-e^x]/[n(n-1)x^(n-2)]=1
需 lim(x--->0)[-2sec³xe^tanx (cosx+sec³x-3secxsin²x-3sec²x)-e^x]/[n(n-1)(n-2)x^(n-3)]=1
∵ lim(x--->0)[-2sec³xe^tanx (cosx+sec³x-3secxsin²x-3sec²x)-e^x]=6
∴ lim(x--->0）[n(n-1)(n-2)x^(n-3)]=6 ==》 n=3