设A，B，C，D是数域F上n阶方阵，且AC = CA. 求证：行列式| (A，B)；(C，D) | = | AD - CB|

Question

A，B在同一行，C在A正下方，D在B正下方，有点儿像二阶行列式。
思路加过程，过程可能不太好写，只有思路能看懂也行

Answer 1

比较快捷的证明是微扰法，对于非奇异的A，直接用消去法得到
|A B; C D| = |A B; 0 D-CA^{-1}B| = |A| |D-CA^{-1}B|=|AD-ACA^{-1}B| = |AD-CB|
对于奇异矩阵A，当t充分小时A+tI非奇异，利用行列式关于分量连续的性质，在|A+tI B; C D|-|(A+tI)D-CB|=0当中令t->0即可。

Answer 2

当 |A|=0时,
令 f（x）= |xE+A|，f(x)是次数不超过n的多项式，定有无数x使f(x)≠0
用 xE+A 替换原来A的位置，因为无数x满足条件，所以是恒等式，取x=0即得证。本回答被提问者采纳