arcsinx和-arccosx的确是相差常数的关系。可以看mathe画得图。
证明：假设原函数是F1(x)和F2(x),那么由于导数都是相同的所以有
【F1(x)-F2(x)】' = 0
因为只有常数的导数为0，所以F1(x)-F2(x)=C,那么就有F1(x)=F2(x)+c,也就是说任意的原函数之间只相差一个常数，
例如 arcsinx 和 －arccosx，他们的导数是相同的。
再如，arctanx 和 －arccotx ，他们的导数也是相同的。
==============================================
好吧，楼主，你赢了。那我再举一个例子证明不是唯一的，这个例子书上有：
ln |x| 和 ln x 。
他们的导数都是 1/x ，但是，明显定义域不同，图像不同，不可能是相差常数的关系
比如：y=x是一条直线，
y′=1（斜率为1）
原函数∫dx=x+C，
是一个平行线族。
还有arcsecx和-arccscx的导数也是相同的，原函数不是唯一的。追问
好像这也只是相差一个常数？
追答反正割与负的反余割的导数都是1/x√（x²-1），
它们原函数也不唯一。
那么此原函数也是唯一的。追问
不是反函数 是导数
追答如果2个函数的定义域不同，那么f'(x)的定义域也不同，我们暂且不认为他们的导数是一样的。
连续的情况下
假如2个函数的导数相同，并且在某一个点上的值相同，那么这2个函数应该就一样。
假设在A点，2个函数值相同，并且函数连续。那么从A点开始向两侧每次变化dx，y值就变化dy
那么2个函数的增量一样，必然相等。
如果没有相同的点，那么y1=y2+k
假设在A点，2个函数值差k，并且函数连续。那么从A点开始向两侧每次变化dx，y值就变化dy
那么2个函数的增量一样，必然永远差k。
不连续的话，好像没什么意义。
比如x至能取整数，x=1时，y1=0, y2=1
x=2时，y1=1，y2=100
导数都是0，但是根本没什么规律可言
不带常数，就单纯的关于有x的项。
追答原题怎么样的啊?
可以考虑x^0嘛？
如果原函数是只含x的多项式，那就是唯一的。
哦 没有原题，我自己想的
追答楼下那样的话两个函数也就是差常数吧~这样不能说是唯一的反例吧~
楼主不要纠结了~反正相同x对着的函数样子长得肯定是一样的，至于限定不同定义域，从而给出不同函数什么的当然可以写很多函数，换一种样子写出来什么当然也有。深究定义的话我说的话必然是不完善的，大家也别太较真，领会精神吧~
恩 确实是唯一的 我想通了。
本回答被提问者采纳