曲线和曲面积分

Question

曲线积分和曲面积分中，对于一个这样的积分∫f(x,y,z)dx+g(x,y,z)dy+h(x,y,z)dz 能不能直接分解为∫f(x,y,z)dx∫ g(x,y,z)dy+∫h(x,y,z)dz
有的题目中，直接这样分开利用各自的dx,dy,dx的积分限求解，结果和答案一样。可是有的时候又不行。请教各位数学达人，这是怎么回事。
比如这个例题:∫L (x^2-2xy)dx+(y^2-2xy)dy，其中L是抛物线y=x^2上从点(-1,1)到点(1,1)的一段弧. 如果分解开来做，取各自的积分限求解，dx积分限-1→1，dy积分限1→1，分别积分成 ∫(x^2-2xy)dx+∫(y^2-2xy)dy.得到的结果是5/6.但是答案是-14/15.
PS：最好能在说明一下，什么情况下可以这样算，什么时候不可以。谢谢！！！

Answer 1

结果是-14/15 ，伙计，你对y轴积分的时候肯定积分错误了。我们来看，前半部∫L (x^2-2xy)dx=2/3 ，后半部分你肯定积分错误了。你是不是将y=x^2代入了∫(y²-2xy)dy中变为了∫(x^4-2x^3)2xdx ?你这样代入进去后又变了对x的积分了，不是对y的积分。当然这样也行，而且更简单 ∫(-1→1)(x^4-2x^3)2xdx=-8/5 ,我这里完全用对y轴的积分计算你看看，如下：
因为对y=x^2对y轴投影时是一个双值函数，x=±√y ,在y轴的左半部分取负，右半部分去正，再将这个x=±√y分别代入∫(y²-2xy)dy ，就变为了∫（1→0）（y²+2y^3/2)dy + ∫（0→1）（y²-2y^3/2)dy 的样子，最后积分=-8/5，于是原式=2/3+（-8/5）=-14/15
顺便告诉你∫f(x,y,z)dx+g(x,y,z)dy+h(x,y,z)dz 都可以拆开积分，只是你积分时要注意。它本来就是组合积分，为什么不能拆开？为什么要组合它，就是为了好用斯托克斯公式去简化计算。