高中数学中的数列问题

Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an=(t-1)Sn/t+1(n∈N*),其中t为常数，t∈(1/2,2),bn=lgan.
(1)求数列{bn}的通项公式；
（2）当t≠1时，设f(x)=bnx^2+2b(n+1)x+b(n+2)( n∈N*)的图象在x轴上截得的线段长为Cn.求C1C2+C2C3+C3C4+ …Cn-1Cn(n≥2)；
（3）若dn=1/2(an+1/an),数列{dn}的前n项和为Tn,求证：Tn<2^n－(√2/2)^2.
第(3)问中的Tn<2^n－(√2/2)^2,应为:Tn<2^n－(√2/2)^n.
对不起!我把题搞错了.

Answer 1

(1)令n=1 则a1=(t-1)S1/t+1=(t-1)a1/t+1 解得a1=t
an=(t-1)Sn/t+1
a(n-1)=(t-1)S(n-1)/t+1
上面两式相减得到an-a(n-1)=(t-1)(Sn-Sn-1)/t=(t-1)an/t
所以an=ta(n-1) {an}是等比数列 an=t^n
bn=lgan=nlgt

(2)bn=nlgt
b(n+1)=(n+1)lgt
b(n+2)=(n+2)lgt
f(x)=lgt*(nx+n+2)(x+1) 所以x1=-1 x2=-(n+2)/n
Cn=|x1-x2|=2/n
Cn-1*Cn=[2/(n-1)]*(2/n)=4/n(n-1)=4[1/(n-1)-1/n]
所以C1C2+C2C3+C3C4+ …Cn-1Cn=4(1-1/2+1/2-1/3+..+1/n-1-1/n)
=4(1-1/n)

(3)dn=(t^n+1/t^n)/2
对于函数g(x)=(x^n+1/x^n)/2 可以证明g(x)在(0,1)上单调递减 在(1,无穷大)上单调递增
由于t属于(1/2,2)
所以对于每一个dk 其取值范围应该是[1,(2^k+1/2^k)/2 )
所以Tn<1/2∑(2^k+1/2^k) (k=1取到n)
对上面右边记为Rn，所以Rn=1/2∑(2^k)-1/2 (k从-n取到n)
所以Rn=2^n-(1+2^n)/2^(n+1)
所以只需证明(1+2^n)/2^(n+1)>(√2/2)^n即可
有基本不等式x+y>=2√xy 当x=y时取得等号
所以1+2^n>2√2^n
所以(1+2^n)/2^(n+1)>2√2^n/2^(n+1)=√2^n/2^n=(√2/2)^n
证毕