双曲线右焦点为F，过F的斜率为√3的直线交双曲线于A,B两点，AF＝4BF，求...

Question

双曲线右焦点为F，过F的斜率为√3的直线交双曲线于A,B两点，AF＝4BF，求双曲线离心率。
不要用准线的

Answer 1

如图，过点A,B,F分别做垂线，与准线分别交于P,Q,R

过F直线AB斜率为√3，即 k=tanα=√3，∴直线倾角α=60°

由离心率定义有：e=AF/AP=BF/BQ

设BQ=x，α=60°，已知AF=4BF，由图中几何关系可知，有：

BF=ex，AF=4ex，AP=x+ex/2+2ex

∴e=AF/AP=4ex/(x+ex/2+2ex)

即1=4/(1+e/2+2e)，化简，解得 e=6/5

∴双曲线的离心率为 6/5

希望对你有帮助