如果是方阵的话左逆和右逆一定是同时存在或同时不存在的，但是这个需要证明。
（对于不方的矩阵而言单侧逆最多只有一个存在，此时矩阵是满秩的，不过这个不是重点）
本质上讲方阵是有限维空间上的
线性变换，所以才会出现如此好的性质，这个决不是仅仅从AB=E出发通过算子的结合律就能证明的，比如说l^2空间上的左移算子和右移算子都只是单侧可逆，所以要证明矩阵的双侧可逆一定要回到
矩阵乘法本身的代数性质。
下面这段话就是对于矩阵单侧可逆必定双侧可逆的证明，你可以转给刚才向你提问的那个人，不要误导了别人。
http://zhidao.baidu.com/question/351120255.html首先，
行列式乘积定理|AB|=|A|*|B|的证明不依赖于你想要证明的结论，它可以通过
初等变换来证明。
然后就是一个观念的问题，满足|A|≠0的矩阵A称为
非奇异矩阵，而关于X的方程AX=XA=E有解的矩阵A称为
可逆矩阵，这两者的等价性没有验证之前最好不要混淆。
利用
Cramer法则可以证明非奇异矩阵必可逆，因为此时可以构造出一个解X=adj(A)/|A|。
再利用行列式乘积定理可以证明可逆矩阵必定非奇异。
准备工作到此为止。回到你的问题，如果AB=E，那么由|A||B|=1得A非奇异，因此必定可逆，取A的逆X，那么X=XE=XAB=B，从而BA=XA=E。
结合律可以用来证明如果A的双侧逆存在则必定唯一，但不足以从一侧直接推到另一侧。来自：求助得到的回答