第1个回答 2007-08-09
一,教法建议
【抛砖引玉】
本单元主要内容是有理数的运算.先讲加减法,再讲乘除法,最后讲乘方.加法与乘法都是在介绍运算法则——着重是在符号法则的基础上,进行基本运算的训练.然后结合实例引入运算律,进而将这一部分告一段落.减法与除法,则是着重讲授如何向加法与乘法转化,掌握转化的方法,从而利用加法与乘法的运算法则,运算律进行运算,乘方限定在指数是自然数的范围,则可以利用乘法运算.配合有理数运算,通过介绍近似数与有效数字,讲授一些近似计算的初步知识.结合乘方与近似数的知识,讲授平方表与立方表的查法.在本单元教学中,要抓住数形结合的方法,并要侧重实例,使理论与实践相结合,加深对运算法则的理解.对运算才能掌握得好,转化的方法也要贯穿在教学的始终,使学生掌握转化的方法,便可化"减"为"加",化"除"为"乘",矛盾达到统一.
【指点迷津】
本单元的重点是有理数的加法与乘法的运算,减法可以化成加法,除法与乘法可以化成乘法.本单元的难点是对有理数法则的理解以及有理数减法的运算.为此,首先分别情况,利用数轴,讲述在一条直线上两次运动的结果,从而得出有理数加法法则.然后通过实例说明如何具体运用法则计算.接下来,又结合实例说明加法的运算律对有理数仍然适用.
有理数的减法,可根据减法的意义,结合有理数加法的运算,进一步通过负数与负数相减的实例,引出有理数减法法则,再结合温度讲的实例,做了验证.这个实例也同时向学生指出了有理数减法的实际意义.最后,用两个例讲述有理数减法的运算方法.
有理数的乘法,可首先对照小学乘法的意义,结合在一条直线上运动的实例,得出不同情况下两个有理数相乘的结果,进而归纳出有理数乘法法则.接下来,又从具体运算的实例出发,指出乘法的运算律对有理数仍然适用.但有理数乘法法则,实际上是一种规定.在教学中,结合通过直线运动的实例,让学生在某种程度上对这种规定的合理性有所认识和了解.
有理数的除法首先根据除法的意义具体计算一个有理数除法的实例,进而与有理数的乘法进行比较,从而得到启发,即有理数的除法可以用乘法进行,然后,指出有理数范围内倒数的定义不变,这样,就得出有理数除法法则.接下来,通过几个实例说明有理数除法法则,并根据除法可以化成乘法,进一步得到与乘法类似的法则.
有理数的加,减,乘,除,乘方的运算与小学运算的一个重要区别就是多了一个符号问题,在运算过程中,要注意符号的变化.
二,学海导航
【思维基础】
1.有理数加法法则
(1)同号两数相加, .
(2)绝对值不相等的异号两数相加,
.互为相反数的两个数相加得0.
(3) ,仍得这个数.
(4)三个数相加,先把 ,或者 ,和不变.
加法结合律:(a + b)+ = a +( ).
(5)两个数相加, ,和不变.
加法交换律:a + b= .
2.有理数减法法则
减去一个数,等于 的相反数,有理数减法法则也可以表示成
a-b = a + .
3.有理数乘法法则
(1)两数相乘,同号 , 得负,并把 相乘;任何数同 相乘,都得0.
(2)几个不等于0的数相乘,积的符号由 决定,当负因数有 , 为负,当负因数有 , 为正.
几个数相乘, ,积就为0.
(3)两个数相乘, ,积不变.乘法交换律: =b a.
三具数相乘,先把 ,或者把 ,积不变.乘法结合律:(a b) c=
一个数同两个数的和相乘, ,再把积相加.
分配律:a ( b + c)=
3.(1)乘积是1 互为倒数.
(2)有理数除法法则:
除以一个数等于乘上这个数的倒数,有理数除法的法则,也可以表示成 a÷b= ( b0)
注意:0不能作除数.
(3)两数相除,同号得正, ,并把 .0除以任何一个不等于0的数,都得 .
4.(1)求n个相同因数的积的运算 , 叫做幂,在an中,a叫做 ,n叫做 ,an读作a的 .an看作是a的n次方的结果时,也可读作: .
(2)正数的任何 ,负数的奇次幂 , 是正数.
5.把一个大于10的数记成a×10n的形式,其中a是整数数位只有一位的数,这种记数法叫做 .一个数的科学记数法中,10的指数比原数的整数位数少1,如原数有8位整数,指数就是 .
【学法指要】
例1.计算:
(1) (-0.6)+(-0.7) (2) (+4)+(-3)
(3) (-4.75)+4 (4) (-)+0
揭示思路:
(1) (-0.6) + (-0.7) =-(0.6+0.7) =-1.3
(2) (+4) + (-3) = + (4-3) = + 1=1
(3) (-4.75) + 4= (-4) + 4= 0
亦可:(-4.75) + 4 =(-4.75) + 4.75 = 0
(4) (-) + 0 =-
在有理数加法运算时,应注意包括符号和绝对值两部分.绝对值计算是小学数学中的计算,而符号又分为同号两数与异号两数两种情况,因此计算时应先确定符号,再计算它们的绝对值,同时要注意特殊情况:一个数与零相加仍得这个数;互为相反数相加得零;计算结果要注意约分,并要注意解题格式书写规范.
例2.计算
(1) -5-6 (2) 0-(-)
(3) -(-4.3)-5.6 (4) |-1|-|-1|
揭示思路:
(1) -5-6 = (-5) + (-6) =-11
(2) 0-(-) = 0 + =
(3) -(-4.3)-5.6 = 4.3 + (-5.6) =-1.3
(4) |-1|-|-1|=1-1=1+ (-1)=-
在有理数中,"-"号常见有两种意义:减号,负号.第(1)题中的-5-6,第一个"-"号应理解为负号;第二个"-"号即可理解为减号,也可理解为负号.当把它理解为减号时,算式为:-5-6=-5+(-6)=-11;当把它理解为负号时,算式为:-5-6=-11.
零减去任何一个有理数,得这个数的相反数.
将减法转化为加法时,必须把减号改成加号,减数改为它的相反数.
例3.计算:
(-5)-(+12)+(-8)-(-10)+7
揭示思路:
(-5)-(+12)+(-8)-(-10)+7
=(-5)+(-12)+(-8)+(+10)+7 (统一成加法)
=-5-12-8 + 10 + 7 (化为代数和)
=(-5-12-8 ) + ( 10 + 7 ) (加法结合律)
=-25 + 17 (有理数加法法则)
=-8 (有理数加法法则)
有理数加减混合运算时,首先要把减法运算统一成加法运算,再写成省略加号和括号的代数和,最后应用有理数加法法则,运算时括号中的文字不必写出.在运算时,把正数与负数分别结合在一起再相加,计算可简便.
例4.计算:
-18+ 11-(-9)-18 + (-11)
揭示思路:
-18+11-(-9)-18 + (-11)
=-18 + 11 + 9-18-11
=(-18 + 9) + (11-11)-18
=-9 + 0-18
=-27
为了运算简便,可应用有理数加法的交换律与结合律,在交换加数位置时,要连同前面的符号一起交换.要注意同分母的分数相加,互为相反数相加,凑整数相加.
例5.计算:
(-5)-|-2+3+0.75|-|-4|-(-5)+(-4)
揭示思路:
(-5)-|-2+3+0.75|-|-4|-(-5)+(-4)
=-5-|1|-|4|+5-4
=(-5-1-4)+(5-4)
=-11+1
=-10
当一个算式里既有分数,又有小数时,通常要统一,具体统一成分数还是小数,要看哪一种计算简便而确定.
例6.已知a=13,b=-12.1,c=-10.6,d=25.1,求下列代数式的值.
(1)a-( b + c + d ) (2) (a-c)-(d-b)
揭示思路:
当a = 13,b = -12.1,c =-10.6,d =25.1
(1)a-( b + c + d )=13-[(-12.1)+(-10.6)+25.1]
=13-(-12.1-10.6+25.1)
=13-2.4
=10.6
(2) (a-c)-(d-b)=[13-(-10.6)]-[25.1-(-12.1)]
=(13+10.6)-(25.1+12.1)
=23.6-37.2
=-13.6
求代数式的值,一般是先确定已知量的值,再代入求值,代入时,若字母表示负数应加上括号.
例7.计算:
(1) (-1)×(+3) (2) (-)×(-0.22)
(3) 0×(-1999) (4) (+3.6)÷(-0.09)
(5) (-)÷(-)÷(+) (6) 0÷(-)
揭示思路:
(1) (-1)×(+3)=-(×)=-5
(2) (-)×(-0.22)=+(×)=
(3) 0×(-1999)=0
(4) (+3.6)÷(-0.09)=-(3.6÷0.09)=-40
(5) (-)÷(-)÷(+)=+(××)=3
(6) 0÷(-)=0
有理数乘法,除法与小学学过的不同之处在于:要先确定积(或商)的符号:两数相乘(除),同号得正,异号得负;0乘以(或除以)任何一个有理数(0不能作除数)都得0;在有理数乘除运算中,通常将带分数化成假分数,利于约分;要注意乘法求积的符号法则与加法求和法则不同,要注意对比,找出差异.
例8.计算:
(1) (-)×(+)×(-1)×(+)×(-1)
(2) (-1938)×(-)×[(-1920)+1920]×-()
揭示思路:
(1)原式=-(××××)
=-
(2)原式=(-1938)×(-)×0×(-)
=0
几个不等0的数相乘,应先确定积的符号,积的符号由负因数个数决定,负因数个数为偶数时积为正;负因数有奇数个时积为负,若几个有理数相乘,有一个因数为0,则所得结果为0,就不必再逐一相乘.
【思维体操】
例1.计算:
揭示思路:
从"+=1,……"可发现将原式进行倒写相加即可.于是找到思路.
∵+=1
…… ……
+
=
=1+1+……+1+1=59
59个1
∴2倍的原式值等于:
1+2+3+……+59
又2倍的原式值等于:
59+58+……+2+1
∴4倍的原式值等于:
1+2+……+58+59+59+58+……+2+1
=(1+59)+(2+58)+……+(30+30)
=60+60+……+60=60×59=3540
59个60
∴原式=3540÷4=3540×=885
由上揭示思路及求解过程,我们可以发现本例在求值过程中,由于善于观察,抓住其中的规律:倒写相加法,即利用加法的交换律,结合律,凑整法,将很难入手的问题打开了缺口,又将有理数的加法转化为乘法和除法运算,既活用到课本讲授的基础知识,又找到了新颖的解法.可见对课本所学知识,必须活学活用,才能收到立杆`1见影的效果,但不能把课本知识当作金科玉律,死搬硬套.因题而异,灵活使用,将收到成效,且自身数学素养也会不断提高.由上述解法,引起我们联想,若原式都乘以2,同样可找到十分简捷的解法.
∴2倍的原式值为:
1 + 2 + 3 +……+ 58 + 59,以下同上述解法.
在解题过程中,既在善于观察,又要善于诱发联想,转化,便可打开问题的思路,又可找到其它解法或者更简捷的解法.
三,智能显示
【心中有数】
有理数加,减,乘,除运算是有理数运算基础,也是本单元的重点.在具体运算时,对运算法则,运算律要准确使用,又要灵活使用.对于有理数的有关概念的理解与掌握,应结合有理数运算逐步进行强化,如正负数,有理数,绝对值等概念.
【动脑动手】
1.填空题:
(1) (-)+(-0.4)= (2) (-)+(+)=
(3) 0- =8 (4) (+)+ =0
(5) 2×(-)= (6)-3÷(-)=
2.选择题:
(1)把-(-5)-(+1)-(-7)+(-2)写成省略加号和的形式为( )
(A)-5-1 + 7-2 (B)-5 + 1 + 7 + 2
(C)5-1 + 7-2 (D) 5 + 1 + 7-2
(2)下列说法正确的是( )
(A) 0的倒数等于0
(B) 两数相乘,取绝对值较大的符号作为积的符号
(C) 若两个数的符号相反,则和等于0
(D) 同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加
(3)a,b,c在数轴上的对应是如图所示.o为原点,下列结论正确的是( )
c b o a
(A) a b c > 0 (B) a b > 0
(C) > 0 (D)> 0
(4)下列计算正确的是( )
(A) -1×÷=-1
(B) -1÷(-3)(-)=-1
(C)-2÷6-(-100)×0=0
(D) -101÷10×(-1)×0=0
3. 计算:
(1) (-31) + (-42) (2) (-) + ( +)
(3) 0-5-2-3-|-4| (4) (-)×(-1)
(5) (-)÷( + 8 ) (6) (-31)×(-45)×0
(7) (-2)-( + 3.2 )-(-)-(-4)
(8) (-128)÷(-32)
4.当a =-2,b = 0,c =-5,d = 6时,求下列代数式的值.
(1) a +b c (2) c -a d
【创新园地】
计算:
1. 1 + 2-3-4 + 5 + 6-7-8 + 9 + 10-11-12 + …… +1993+1994-1995-1996 + 1997 + 1998-1999-2000;
2.
【动脑动手】
参考答案
1.(1)-1; (2) ; (3)-8; (4)-; (5)-; (6) 9
2.(1) C; (2) D; (3) A; (4) D
3.(1)原式=-(31+42)=-73
(2)原式=-(
(3)原式= 0-5-2-3-4 = 0-( 5+ 2 + 3 + 4 )
= 0-14=-14
(4)原式=(-)×(-)=×=1
(5)原式=(-=-(×)=-
(6)原式= 0
(7)原式=(-2)+(-3.2)+( + ) + ( + 4)
4.(1)当a=-2,b = 0,c = -5时
a + b c =-2 + 0×(-5)=-2 + 0 =-2
(2)当a=-2,c =-5,d=6时
c-a d =(-5)-(-2)×6
=(-5) + 12=7
【创新园地】
参考答案
1.原式= 1 + ( 2-3-4 + 5 ) + (6-7-8 + 9 ) + (10-11-12 + 13 ) +……+ (1998-1999)-2000
=1 + 0 + 0 + …… + 0-1-2000
=-2000
2.原式=(1-) + (-)+……+(-)
=1 + (-+)+(-+)+……+(-+)-
=1-
=
第2个回答 2007-08-09
1.有理数加法法则
(1)同号两数相加, .
(2)绝对值不相等的异号两数相加,
.互为相反数的两个数相加得0.
(3) ,仍得这个数.
(4)三个数相加,先把 ,或者 ,和不变.
加法结合律:(a + b)+ = a +( ).
(5)两个数相加, ,和不变.
加法交换律:a + b= .
2.有理数减法法则
减去一个数,等于 的相反数,有理数减法法则也可以表示成
a-b = a + .
3.有理数乘法法则
(1)两数相乘,同号 , 得负,并把 相乘;任何数同 相乘,都得0.
(2)几个不等于0的数相乘,积的符号由 决定,当负因数有 , 为负,当负因数有 , 为正.
几个数相乘, ,积就为0.
(3)两个数相乘, ,积不变.乘法交换律: =b a.
三具数相乘,先把 ,或者把 ,积不变.乘法结合律:(a b) c=
一个数同两个数的和相乘, ,再把积相加.
分配律:a ( b + c)=
3.(1)乘积是1 互为倒数.
(2)有理数除法法则:
除以一个数等于乘上这个数的倒数,有理数除法的法则,也可以表示成 a÷b= ( b0)
注意:0不能作除数.
(3)两数相除,同号得正, ,并把 .0除以任何一个不等于0的数,都得 .
4.(1)求n个相同因数的积的运算 , 叫做幂,在an中,a叫做 ,n叫做 ,an读作a的 .an看作是a的n次方的结果时,也可读作: .
(2)正数的任何 ,负数的奇次幂 , 是正数.
5.把一个大于10的数记成a×10n的形式,其中a是整数数位只有一位的数,这种记数法叫做 .一个数的科学记数法中,10的指数比原数的整数位数少1,如原数有8位整数,指数就是 .