求二重积分

Question

(1) ∫∫(y/x)dxdy,其中D是由y=(1/2)x,y=x,x=1,x=2所围成的平面区域
(2) ∫∫xdxdy,其中D是由x^2+y^2≤4所围成的第一象限部分
(3) ∫∫(y/x)dxdy,其中D是由xy=1,y=x,y=2所围成的平面区域

Answer 1

解：（1）原式=∫<1,2>dx∫<x/2,x>(y/x)dy
=∫<1,2>((x-x/2)/x)dx
=∫<1,2>(1/2)dx
=(1/2)(2-1)
=1/2；
（2）原式=∫<0,2>dx∫<0,√(4-x²)>xdy
=∫<0,2>x√(4-x²)dx
=(-1/2)∫<0,2>√(4-x²)d(4-x²)
=(-1/2)(2/3)(0-2)
=2/3；
（3）原式=∫<1,2>dy∫<1/y,y>(y/x)dx
=∫<1,2>y(2lny)dy
=2∫<1,2>y*lnydy
=(y²*lny)│<1,2>-∫<1,2>ydy (应用分部积分法)
=4ln2-3/2。

Answer 2

第一个、D是由y=(1/2)x,y=x,x=1,x=2所围成的平面区域
画下图得x∈[1,2] y∈[x/2,x]
∫∫(y/x)dxdy=∫dx∫(y/x)dy=9/16
第二个、D是由x^2+y^2≤4所围成的第一象限部分
令x=rcosθ,y=rsinθ
r∈[0,2] θ∈[0,π/2]
∫∫xdxdy=∫rdr∫rcosθdθ=8/3
第三个、D是由xy=1,y=x,y=2所围成的平面区域
所以x∈[1/y,y] y∈[1,2]
∫∫(y/x)dxdy=∫dy∫(y/x)dx=4ln2-3/2