已知数列（an）满足an=5Sn-3，n属于N+

Question

（1）判断数列（an）是否为等比数列，说明理由。（2）求a1+a3+。。。+a2n-1

Answer 1

an=5Sn-3
a(n-1)=5S(n-1)-3
两式相减得
an-a(n-1)=5Sn-3-[5S(n-1)-3]
an-a(n-1)=5Sn-3-5S(n-1)+3
an-a(n-1)=5[Sn-S(n-1)]
an-a(n-1)=5an
4an=-a(n-1)
an/a(n-1)=-1/4
所以an是以-1/4为公比的等比数列

a1=5s1-3
a1=5a1-3
4a1=3
a1=3/4

a3=a1*q^2=3/4*1/16=3/64

a1+a3+。。。+a2n-1
=a1*[1-(1/16)^n]/(1-1/16)
=3/4*[1-(1/16)^n]/(15/16)
=4/5*[1-(1/16)^n]
=4/5*[1-(1/2)^4n]
=4/5-4/5*(1/2)^4n
=4/5-1/5*(1/2)^(4n-2)

Answer 2

（1）
an=5Sn-3
a(n-1)=5S(n-1)-3
两式相减
an-a(n-1)=5(Sn-S(n-1))=5an
所以)an/a(n-1)=-1/4
又a1=5S1-3=5a1-3
所以a1=3/4不等于0
所以（an）是等比数列
（2）
由（1）得：an/a(n-1)=-1/4
所以an/a(n-2)=1/16
设bn=a(2n-1)
有b1=a1=3/4
bn/b(n-1)=1/16
所以bn＝3/4*(1/16)^(n-1)
所以a1+a3+。。。+a2n-1=b1+b2+……+bn=4/5(1-(1/16)^n)

Answer 3

（1）因为an=5Sn-3，又S1＝a1，所以a1＝3/4，
Sn=an/5-3/5， S(n+1)=a(n+1)/5-3/5
a(n+1)=S(n+1)－Sn=a(n+1)/5－an/5
4a(n+1)/5=－an/5
a(n+1)/an=－1/4
所以数列（an）是等比数列，首项为3/4，公比为－1/4，通项为an＝(3/4)(－1/4)^(n-1)
（2)令Bn=a(2n-1)，则Bn是以B1＝3/4为首项，q＝（－1/4）^2＝1/16的等比数列
a1+a3+。。。+a2n-1＝B1+B2+……+Bn
＝[(3/4)(1－1/16^n)]/(1－1/16)
＝（12/15）(1－1/16^n)