如何证明sinx+cos√2x不是周期函数？

Question

如题所述

Answer 1

假设f(x)=sinx+cos√2x是以T为周期的周期函数，（T≠0）
f(x+T)=f(x)
sin(x+T)+cos(√2x+√2T)=sinx+cos√2x
所以T=2kπ且√2T=2mπ T=√2mπ (k,m都是整数)
所以√2k=m，因为m是整数，所以k=0
所以T=0，矛盾
所以sinx+cos√2x不是周期函数追问

问题就在于即便sinx≠sin(x+t)且cosx≠cos(x+t)那么也有可能sinx+cosx= sin(x+t)+ cos(x+t)

Answer 2

我不明白楼主说的是根号2*x还是根号下2x,这是有差距的:sinx+cos（（sqrt2）*x）对于sinx+cos（（sqrt2）*x），sinx+cos（sqrt（2x）），我做了matlab画线，如下图：x1=[0:0.1:100*pi]x2=[0:0.1:1\30*pi]y1=sin(x1)+cos(sqrt(2*x1))subplot(1,2,2)plot(x1,y1)hold ony2=sin(x2)+cos((sqrt(2)*x2))subplot(1,2,1)plot(x2,y2)hold off看起来都不是周期函数了
参考资料：matlab二维图形

Answer 3

若sin(x+T)+cos(√2x+T)=sinx+cos(√2x)
即是sin(x+T)-sinx=cos(√2x)-cos(√2x+T)
即是2cos[(x+T+x)/2)cos[(x+T-x)/2]=-2sin[(√2x+√2x+T)/2]sin[([(√2x-√2x-T)/2]
即是2cos(x+T/2)cos(T/2)=2sin(√2x+T/2)sin(T/2)
即时tan(T/2)=cos(x+T/2)/sin((√2x+T/2)
等式左边为定值，右边为关于x变量，左右不等，所以原等式不等。本回答被提问者采纳