如何证明连续函数存在零点？

Question

如题所述

Answer 1

能想到的证明方法比较繁琐，我给你一个简约版本的

分两种情况讨论：
a) f(x)存在零点，则任意一个零点x=x0, |f(x0)|<= |f(x)|存在
b) 如果f(x)不存在零点，则由于f(x)在R上连续，根据零点定理，f(x)必然在R上同号。不失一般性，设f(x)>0
当|x|->无穷大时，f(x)是和最高次项同阶的无穷大，f(x)->正无穷大
我们任意取一点x=x1, 则根据|x|时f趋于无穷大，可以知道存在一个实数r，使得当|x|>r时，f(x)>f(x1)恒成立
在闭区间|x|<=r上，连续函数在闭区间必然有最小值，设最小值在x=x0处取得，则f(x0)<=f(x)对所有x都成立

得证