特征函数什么意思啊？

Question

如题所述

Answer 1

特征函数是什么介绍如下：

特征函数，是指在概率论中，任何随机变量完全定义了它的概率分布的函数。

在求两个或多个随机变量和的分布时,需要用到卷积公式.如果要求个相互独立的随机变量和的分布时,就要算次卷积,这是一件比较麻烦的事情.经过不断地探索和研究,终于发现特征函数这个工具,它在解决个独立随机变量和的分布时,显得锐利有力。

设是一个随机变量,称是的特征函数.对任意的总有,所以总是存在的.也就是说,对于任一随机变量,它的特征函数一定存在.1.对于离散型随机变量,它的特征函数2.对于连续型随机变量,它的特征函数

特征函数具有以下基本性质：

勒维连续定理

如果两个随机变量具有相同的特征函数，那么它们具有相同的概率分布； 反之， 如果两个随机变量具有相同的概率分布， 它们的特征函数也相同(显然)。

独立随机变量和的特征函数等于每个随机变量特征函数的乘积。

反演定理

在累积概率分布函数与特征函数之间存在双射。也就是说，两个不同的概率分布不能有相同的特征函数。

研究概率论极限理论的一种重要的分析工具.若ξ是定义在(Ω，F，P)上的随机变量，F(x)是它的分布函数，称函数

φ(t)=Eeitξ＝∫+∞-∞eitxdF(x)

(-∞<t<+∞， i=)

为随机变量ξ(或分布函数F(x))的特征函数.如果ξ是离散型随机变量，P(ξ=xk)=pk (k=1，2，…)，则其特征函数

φ(t)=Eeitξ＝eitxkpk

如果ξ是连续型随机变量，其分布密度为p(x)，则ξ的特征函数

φ(t)=Eeitξ＝∫+∞-∞eitxp(x)dx

可知，φ(t)是p(x)的傅里叶变换。

随机变量的特征函数总是存在的，它对一切t有定义，一般是实变量的复值函数。