如果公司规定中明确规定了迟到次数或迟到时间的限制，并且员工在多次提醒后仍未改善，公司有权依据规定进行相应处理，包括开除员工。
一、公司规定的合法性
公司规定是员工行为的重要依据，因此，公司规定的合法性至关重要。在制定规定时，公司应遵守相关法律法规，确保规定内容合法、公正、合理。如果公司规定中涉及到员工的权益，应在制定前征求员工的意见并进行公示，确保员工对规定内容有充分了解。
二、迟到行为的性质
迟到行为是一种违反工作纪律的行为，但其性质和严重程度因情况而异。如果员工偶尔迟到，且迟到时间较短，可以视为轻微的违纪行为；但如果员工经常迟到，且迟到时间较长，影响了正常工作秩序，则可能构成严重违纪行为。因此，公司在处理迟到问题时，应根据具体情况进行分析和判断。
三、开除员工的合法性
开除员工是一种较为严厉的处罚措施，必须依法进行。根据《中华人民共和国劳动法》的规定，用人单位有权依法解除劳动合同，但必须符合法定条件和程序。具体来说，公司需要证明员工存在严重违纪行为，并且已经进行了相应的提醒和警告。只有在员工多次违反规定且拒不改正的情况下，公司才能考虑采取开除措施。
此外，公司在开除员工时还需要遵守法定程序，如提前告知员工、听取员工的申辩和意见、依法进行调解等。如果公司未遵守法定程序或者开除决定缺乏事实依据，员工有权向劳动仲裁机构或法院提起诉讼，维护自己的合法权益。
综上所述：
经常迟到被公司开除是否合法，需要综合考虑公司规定的合法性、迟到行为的性质以及开除员工的合法性等因素。公司在处理员工迟到问题时，应遵守相关法律法规，确保处理程序的合法性和公正性。同时，员工也应遵守工作纪律，尽量避免迟到等违纪行为的发生。
法律依据：
《中华人民共和国劳动法》
第三十九条规定：
劳动者有下列情形之一的，用人单位可以解除劳动合同：
（一）在试用期间被证明不符合录用条件的；
（二）严重违反用人单位的规章制度的；
（三）严重失职，营私舞弊，给用人单位造成重大损害的；
（四）劳动者同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，或者经用人单位提出，拒不改正的；
（五）因本法第二十六条第一款第一项规定的情形致使劳动合同无效的；
（六）被依法追究刑事责任的。
第四十三条规定：
用人单位单方解除劳动合同，应当事先将理由通知劳动者。劳动者认为用人单位解除劳动合同的决定违反法律、法规或者劳动合同的，可以向劳动争议调解委员会申请调解或者向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。
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