如何求逆矩阵？

Question

如题所述

Answer 1

1)
首先，我们假设存在一个矩阵 A = (I + uv^T)，其中 I 是 n×n 的单位矩阵。
我们可以计算 A 的逆矩阵 A^(-1)：
A^(-1) = (I + uv^T)^(-1)
我们可以使用矩阵求逆的性质来计算 A^(-1)。其中一个常用的性质是 (AB)^(-1) = B^(-1) A^(-1)，只要 AB 和 BA 的逆矩阵存在。
对于 A = (I + uv^T)，我们可以展开矩阵乘积：
A A^(-1) = (I + uv^T) (I - (uv^T) / (1 + v^T u))
将乘法进行展开：
= I - (uv^T) / (1 + v^T u) + uv^T - (uv^T)(uv^T) / (1 + v^T u)
= I + uv^T - uv^T + (uv^T)(uv^T) / (1 + v^T u) - (uv^T)(uv^T) / (1 + v^T u)
我们可以看到，对于求逆的结果，所有包含 (uv^T)(uv^T) 的项都会相互抵消，因为 (uv^T)(uv^T) = u (v^T u) v^T。
因此，我们得到：
A A^(-1) = I
这说明 A 的逆矩阵 A^(-1) 确实满足 (I + uv^T) (I - (uv^T) / (1 + v^T u)) = I。
由于逆矩阵是唯一的，我们可以得出结论：
(I + uv^T)^(-1) = I - (uv^T) / (1 + v^T u)。
因此，我们证明了 (I + uv^T)^(-1) = I - (uv^T) / (1 + v^T u)。
2)
首先，我们假设存在一个矩阵 A = (I + UV^T)，其中 I 是 n×n 的单位矩阵。
然后，我们定义 B = (I + V^T U)，其中 I 是 k×k 的单位矩阵。
我们可以看到，A 可以被表示为 A = I - U(I + V^T U)^(-1)V^T。
现在，我们来计算 A 的逆矩阵 A^(-1)：
A^(-1) = (I - U(I + V^T U)^(-1)V^T)^(-1)
我们可以使用矩阵求逆的性质来计算 A^(-1)。其中一个常用的性质是 (AB)^(-1) = B^(-1) A^(-1)，只要 AB 和 BA 的逆矩阵存在。
考虑矩阵 B = (I + V^T U)，我们可以得出：
A^(-1) = (I - U(I + V^T U)^(-1)V^T)^(-1)
= [(I + V^T U)(I - U(I + V^T U)^(-1)V^T)]^(-1)
接下来，我们可以将乘法进行展开并利用矩阵求逆的性质：
= [(I + V^T U)(I - U(I + V^T U)^(-1)V^T)]^(-1)
= [(I + V^T U)(I - UV^T(I + V^T U)^(-1))]^(-1)
= [(I + V^T U)(I - UV^T(I + V^T U)^(-1))]^(-1) (I - UV^T(I + V^T U)^(-1))
= (I + V^T U)^(-1) (I - UV^T(I + V^T U)^(-1)) (I - UV^T(I + V^T U)^(-1))
= (I + V^T U)^(-1) (I - UV^T(I + V^T U)^(-1))^2
我们可以看到， (I - UV^T(I + V^T U)^(-1))^2 可以简化为 I，因为这一项的平方会消除掉所有包含 U 和 V 的项。
因此，我们得到：
A^(-1) = (I + V^T U)^(-1)
由于逆矩阵是唯一的，我们可以得出结论：
(I + UV^T)^(-1) = I - U(I + V^T U)^(-1)V^T。
因此，我们证明了 (I + UV^T)^(-1) = I - U(I + V^T U)^(-1)V^T。
不知道对不对