第1个回答 2011-10-26
《线性代数》总复习题
一、判断题
1. 仅当 时等式 才成立，则向量组 线性无关. ( )
2. 若 线性相关，则 , 也线性相关.( )
3. 一个向量组如果含有零向量，则这个向量组一定线性相关. ( )
4. 如果矩阵 存在一个不为零的 阶子式则矩阵的秩为 . ( )
5. 为向量组T 的一部分向量，如果 线性无关，则 为向量组T 的最大无关组. ( )
6. 由 维向量 生成的子空间或者是 维的或者是 维的.( )
7. 任意齐次线性方程组或者无解，或者有唯一解，或者有无穷多解.( )
8. 初等矩阵可理解为单位矩阵经过一次初等变换而得到. ( )
9. 矩阵经过初等变换后得到的新矩阵实际上与原矩阵相等. ( )
10. 矩阵经过初等变换其行列式的值不变. ( )
11. 矩阵经过初等变换其秩不变. ( )
12．线性方程组 的解空间维数仅与 , 有关. ( )
13.线性方程组 的解全体构成一个 维子空间. ( )
14．方阵 为实对称矩阵当且仅当 的特征值为实数. ( )
15．方阵 的对应于特征值 的特征向量 必定是齐次线性方程组 的解. ( )
16．矩阵的秩就是其列（或行）向量组中线性无关向量的个数. ( )
17.如果向量空间 的任一向量均可由 线性表示，则称 为 的一个基. ( )
18. 若在矩阵 中有一个 阶子式不为 ，则A中至少有一个 阶子式不为 . ( )
19. 上三角方阵的值就是主对角线上元素的乘积. ( )
20. 若 线性相关，则 可由 线性表示. ( )
二 、选择题
1. 设 为 阶矩阵，且 ,而 ，则
） ） 或 C) ）
2.设 为 阶矩阵且 可逆，则有
） ） ） ）
3.设 ，其中 都是方阵，且 ，则有
） 可逆但 不一定可逆 ） 可逆但 不一定可逆
） 与 的可逆性不定 ） 与 均可逆
4.设 为 阶方阵，则 的充分必要条件是
）两行（列）元素对应成比例 ）必有一行为其余行的线性组合
） 中有一行元素全为0 ）任一行为其余行的线性组合
5.A为 矩阵，齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充要条件是A的
（A） 列向量组线性无关 （B）列向量组线性相关
（C）行向量组线性无关 （D）行向量组线性相关
6.设线性方程组Ax=b有m个方程，n个未知量，则正确的是
（A） 若Ax=0仅有零解，则Ax=b有唯一解
（B） 若Ax=0有非零解，则Ax=b有无穷多解
（C） 若Ax=b有无穷多解，则Ax=0仅有零解
（D） 若Ax=b有无穷多解，则Ax=0有非零解
7.线性方程组Ax=b有m个方程，n个未知量，且r(A)=r, 则此方程组
（A）r=m时，有解 （B）r=n时，有唯一解
（C）m=n时，有唯一解 （D）r<n时，有无穷多解
8.方程组 的解的情形是
(A) 无解， (B) 基础解系中有一个向量 ，
(C) 仅有零解 (D) 基础解系 中有两个向量
9.设 且 则 等于
(A) (B) (C) (D)
10.设向量组 线性无关， 则线性无关的向量组是
三、填空题
1. 设 为 矩阵, 为 矩阵，且 ， ，则
= ， =
2.设 ，则当且仅当 = 时，
3.已知 ，则
4.设 ，则
5. =
6. 行 列 式 ________________.
7. 设E 表 示 由n 阶 单 位 矩阵 第i 行 与 第j 行互 换 得 到 的 初 等 矩 阵， 则E __________.
8. 设 为正交矩阵， 且 , 其中 是 的伴随矩阵, 则 的行列式等于________.
9. 设 A, B都是n 阶方阵且A 可 逆, 则 ＝
10. 行列式 =
11. 设 且 则
12. 设 是由向量 生成的子空间，则向量 ，
中 属于 .
13．设矩阵 ， ,则线性方程组 的解为
14. 矩阵 的特征值为
15．行列式 D = 的元素 的代数余子式为
16.设向量 与向量 和 都正交， 则a,b分别为
17.设 , ，则 ＝ ，（利用分块矩阵乘法求解）
18.设向量 ， ，则 的夹角为
19．非齐次线性方程组 的通解为
20．设 ,则当 时 线性相关.
21. 已知 = 是A= 的逆矩阵A 的特征向量，则k＝ .
四、计算题
1. 计算行列式
2. 计 算
3. 设 是3阶矩阵， 是 的伴随矩阵， ，求行列式 的值.
4. 讨论向量组, , , 的线性相关性.
5. 设3维向量 , , , 问当 取何值时, 可由 线性表示且表达式唯一.
6. 求四维向量组
的秩及最大无关组.
7. 试确定参数 ，使矩阵 的秩最小.
8. 验证四维向量
是 的一个基，并求向量 在这个基下的坐标.
9．验证集合 是否为向量空间.
10．问 取何值时, 方程组 有非零解，并将其通解用基础解系表示出来.
11．当 取何值时，方程组 无解？何时有解？在有解的情况下求其通解。
12. 求齐次线性方程组 的通解
13. 求矩阵 的特征值与特征向量.
14.已知矩阵 的特征值为 求 的值，并求相应的特征向量.
15. 用施密特方法，将矩阵 的列向量正交规范化
16. 已知0是方阵A= 的特征值，求a和方阵A的其它特征值.
17. 设A= ，求:（1）A的特征值；（2）再用之求方阵E+A 的特征值。
18. 作初等行变换, 化矩阵 为行最简形.
19.设 元非齐次线性方程组 的三个解向量 满足 , ，其中 ．求 的通解
20. 设矩阵 , 将 正交相似对角化(即求一个正交矩阵 使得 为对角矩阵)
五、证明题
1. 证明：
2. 对 任 意 的 阶方阵 ， 证 明 和 均为 对 称 矩 阵.
3. 证明任意方阵 均可写成对称矩阵和反对称矩阵之和（ 为反对称矩阵当且仅当 ）.
4. 证明A与A 有相同的特征多项式.
5. 若B=C AC，又向量 是矩阵A对应于 的一个特征向量，试证 是矩阵B对应于 的一个特征向量.
6. 设 是一组n 维向量，证明它们线性无关的充分必要条件是任一 维向量都可由它们线性表示.