正定性的判断方法

Question

如题所述

Answer 1

正定性的判断方法：
求出A的所有特征值。若A的特征值均为正数，则A是正定的；若A的特征值均为负数，则A为负定的；
计算A的各阶主子式。若A的各阶主子式均大于零，则A是正定的；若A的各阶主子式中，奇数阶主子式为负，偶数阶为正，则A为负定的。

扩展资料

　　正定矩阵在相合变换下可化为规范型， 即单位矩阵。所有特征值大于零的对称矩阵（或厄米特矩阵）是正定矩阵，其等价条件是：

　　1、AA是半正定的；

　　2、AA的所有主子式均为非负的'；

　　3、AA的特征值均为非负的；

　　4、存在n阶实矩阵C，使A=C'CC，使A=C′C；

　　5、存在秩为r的r×n实矩阵BB，使A=B'BA=B′B。

　　正定矩阵有以下性质：

　　1、正定矩阵的行列式恒为正；

　　2、实对称矩阵A正定当且仅当A与单位矩阵合同；

　　3、若A是正定矩阵，则A的逆矩阵也是正定矩阵；

　　4、两个正定矩阵的和是正定矩阵；

　　5、正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。