正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1，E,F,N分别为BD,AB1,AB上的点，且BE:BD=1:3,AF:AB1=1:3,AN:AB=1:3。

Question

求证BD⊥EF

Answer 1

证明：连结FN,NE，连结AC.BD，交点为P
则在△ABB'中，由AN:AB=AF:AB'=1:3可得：FN⊥BB'
因为BB'⊥平面ABCD，所以FN⊥平面ABCD
又直线BD在平面ABCD内，则FN⊥BD (1)
因为在正方形ABCD中，BE:BD=1:3，BP=BD/2
所以BE:BP=2:3
而由AN:AB=1:3可得：BN:AB=2:3
则在△ABP中，有BE:BP=BN:AB
所以NE//AC
因为AC⊥BD，所以NE⊥BD (2)
则由（1）（2）两个条件可知：
直线BD垂直于平面EFN内的两条相交直线FN与NE
所以BD⊥平面EFN
则BD⊥EF