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怎么证明同构映射
两个集合
同构怎么证明
?
答:
结构保持:对于所讨论的结构,必须证明映射保持了该结构的所有操作
。例如,如果A和B是群,那么对于所有a, a' ∈ A,必须有f(a * a') = f(a) * f(a'),其中"*"表示群操作。类似地,加法、乘法或其他操作也需要被相应地保持。验证恒等元素和逆元素:特别地,对于群、环或场这样的代数结构,...
证明
:群G为一交换群当且仅当映射x到x的逆是一
同构映射
答:
1、设G为交换群,σ:x→x^(-1),下证σ为
同构映射
(1)任取a,b∈G,且a≠b,则σ(a)=a^(-1)≠b^(-1)=σ(b),则σ为单射;(2)任取b∈G,由于b=(b^(-1))^(-1),因此σ(b^(-1))=b,则σ为满射;(3)任取a,b∈G,σ(ab)=(ab)^(-1)=b^(-1)a^(-1)=a...
怎么证明
两个多项式之间的
同构映射
?
答:
设两者的
同构映射
为f,由f(x)=f(x*1)=f(x)f(1)恒成立知f(1)=1,所以f(2)=2f(1)=2 设f(根号2)=a+b根号3,则f(2)=2=f(√2)f(√2)=a^2+3b^2+2ab√3 但方程ab=0,a^2+3b^2=2在Q中无解,所以两者不可能同构。设x=根号2+根号3,则x-根号2=根号3,平方后x^2-2x...
同构映射
的性质
答:
性质3: 同构映射不仅保持了维数的一致性,更揭示了基的转换规律
。如果在E中,某个基是 ,那么在同构映射下,F中的相应基将变成 ,这是因为映射的性质保证了线性无关性的保留,从而维数不变。性质4: 子空间在同构映射下保持子空间的特性,且维数和基的性质保持。若E的子空间H在F中映射为H',则H...
什么是
同构映射
?
答:
3. 举个例子,
两个群之间的同构映射为集合之间的双射,且该映射保持群的乘法运算
。即,
先乘积后映射与先映射后乘积的结果一致
。4. 研究代数结构的主要目的是对其进行分类,或者说找出所有的这种代数结构。同构的代数结构可以不加区分,把它们可以看成一样的。因此,代数结构的分类就是找出该代数结构的...
证明
:群G为一交换群当且仅当映射x到x的逆是一
同构映射
答:
证明
:1、设G为交换群,σ:x→x^(-1),下证σ为
同构映射
(1)任取a,b∈G,且a≠b,则σ(a)=a^(-1)≠b^(-1)=σ(b),则σ为单射;(2)任取b∈G,由于b=(b^(-1))^(-1),因此σ(b^(-1))=b,则σ为满射;(3)任取a,b∈G,σ(ab)=(ab)^(-1)=b^(-1)a^(-1)=a^...
高等代数中关于线性变换的这个定理
如何证明
?
答:
1、这个映射是双射;2、保持加法;3、保持数乘。对于这个问题可以做如下
证明
:取定空间V的一组基,将空间V的每一个线性变换与其在该基下的矩阵建立对应。则这个对应就是一个
同构映射
。事实上,1、空间V中的每一个线性变换与在该基下的矩阵的对应是一个双射(一一对应)2、线性变换的和对应着矩阵...
如何证明
欧氏空间中
同构映射
的传递性?
答:
首先
证明
双射:因为f(v)=v',g(v')=v'',所以g(f(v))=v'',满足满射;因为v里不同的元素在v'下的像也不同,而v'里不同的元素在v''下的像也不同,所以v里不同的元素在v''下的像也一定不同,满足单射。综上满足双射。然后证明保持加法和数乘:设a,b属于v,则g(f(a+b))=g(...
同构映射
的定义
答:
两个代数结构相同是指它们之间至少存在一个
同构映射
。 同构映射要满足两个条件:它是集合之间的双射或一一对应;它保持代数结构的所有运算及一些。性质:域F上的线性空间有很多。它们中哪些在本质上是一样的呢?所谓本质上一样,粗略地说就是:尽管这些线性空间的元素不同。加法域纯量乘法定义的也可能...
如何证明
两
同构映射
的积τo仍是同构映射
答:
提示:
证明
一个映射o是
同构映射
,就是要证明以下两点:(1)o是双射,(2)o保持加法也保持数量乘法。证明:首先,τ,o是同构映射,故都是双射,从而他们的乘积τo仍是双射 其次,对空间V1中的任意向量a,b,及任意的数k,我们有 τo(a+b)=τ(o(a+b))=τ(o(a)+o(b))=τ(o(a))...
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