群G为一交换群当且仅当映射x到x的逆是一同构映射，证明：
1、设G为交换群，σ：x→x^(-1)，下证σ为同构映射
(1)任取a，b∈G，且a≠b，则σ(a)=a^(-1)≠b^(-1)=σ(b)，则σ为单射；
(2)任取b∈G，由于b=(b^(-1))^(-1)，因此σ(b^(-1))=b，则σ为满射；
(3)任取a，b∈G，σ(ab)=(ab)^(-1)=b^(-1)a^(-1)=a^(-1)b^(-1)=σ(a)σ(b)。
综上，σ为同构映射。
2、若σ：x→x^(-1)为一同构映射；
任取a，b∈G，则σ(a^(-1))=a，σ(b^(-1))=b；
ab=σ(a^(-1))σ(b^(-1))=σ(a^(-1)b^(-1))=σ((ba)^(-1))=ba。
因此G为交换群。
若同态映射 f 是一个双射，则称 f 为 G 到 G’ 的同构映射，这时称群 G 和 G’ 同构。
常见的同构有：自同构，群同构，环同构，域同构，向量空间同构，其中自同构定义为：存在E和F两个集合，且对于E、F各存在一种运算，我们记作（符号可更换）*和·，对于E、F，*、·分别封闭（即对于任意两个集合内的元素，进行运算之后依然为该集合的元素，详情见群论）。