对于整系数多项式f(x),已知存在f(a)=p,对于整数a,p为素数。求证f(x)至...答:首先要讲清楚, 这里的三个整数根要在不计重数的意义下考虑(因为通常多项式的根需要计重数), 否则结论不成立. 比如f(x)=3x^4有四个整数根, 且f(1)=3是素数.若f至少有四个不同的整数根u1,u2,u3,u4, 那么存在整系数多项式g(x)使得f(x)=(x-u1)(x-u2)(x-u3)(x-u4). 取x=a得到p...
f(x)是一个整系数多项式,若f(0),f(1)都是奇数,求证f(x)不可能有整数根...答:用反证法,假设n是f(x)的一个整数根,则x-n是f(x)的因式,可设f(x) = (x-n)g(x).由f(x)是整系数多项式,可知g(x)也是整系数多项式.代入x = 0,1得f(0) = -ng(0),f(1) = -(n-1)g(1).g(0),g(1)都是整数,而n和n-1中有一个是偶数,因此f(0),f(1)中至少有一个是...
设fx是一个整系数多项式,证明,若f0f1皆为奇数,则fx没有整数根答:设 f(x)=an*x^n+...+a1*x+a0其中,a0,a1,...,an是整数.由条件易知,a0是奇函数,a1+...+an是偶数.分奇偶两种情况讨论x.(1)若x是偶数,则f(x)显然是奇函数;(2)若x是奇数,由于 a1+...+an是偶函数,从而 a1,...,an中,奇...