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证明连续函数在闭区间有界
函数在闭区间
上
有界
如何
证明
?
答:
证明
方法如下:1.理论法:若f(x)在定义域[a,b]上
连续
,或者放宽到常义可积(有限个第一类间断点),则f(x)在[a,b]上必然
有界
。2.计算法:切分(a,b)内连续。limx→a+f(x)存在limx→a+f(x)存在;limx→b−f(x)存在limx→b−f(x)存在则f(x)在定义域[a,b]内有界。
闭区间
上
连续函数
的性质
答:
定理1 (
有界
性与最大值最小值定理) 在
闭区间
上
连续的函数
在该区间上有界一定能取得它的最大值和最小值 二、零点定理与介值定理 定理2(零点定理) 设函数 f(x)在闭区间 [a, b]上连续,且f(a)与f(b)异号(即f(a)*f(b)<0) ,则在开区间(a, b)内至少有一点n,使 f(n)=0...
如何
证明连续函数在区间
内
有界
呢?
答:
1.
有界性
(最大值和最小之定理):
在闭区间
上
连续
的
函数在
该区间上有界且取得它的最大值和最小值。2.零点定理:设函数F(x)在闭区间[a,b]上连续,且F(a)与F(b)异号,那么在开区间(a,b)内至少有函数F(x)的一个零点,即至少有一点t(a<t<b),使F(t)=0。3.介值定理:设函数F(x)...
叙述闭区间套定理并以此
证明闭区间
上
连续函数
必
有界
答:
闭区间
套定理:设闭区间{[an,bn]}满足:[an,bn]?[an+1,bn+1](n∈N+),limn→∞(bn?an)=0,则存在唯一的ξ,使ξ∈[an,bn](n∈N+)且limn→∞an=limn→∞bn=ξ.设f是[a,b]上的
连续函数
,下面用反证法
证明
f在[a,b]
有界
.反设f在[a,b]无界,二等分区间[a,b]...
高数
证明
:
在闭区间
上
连续
的
函数在
该区间上
有界
且一定能取得它的最大值...
答:
都用到了聚点原理:
闭区间
[a,b]上的无穷数列{xn}一定有聚点,i.e.存在{xn}的子列{xk}及某个点y∈[a,b] s.t.lim x(k) = y
证明
:如果f(x)在[a,b]上无界,则存在序列{xn} s.t.|f(xn)| -> 无穷。由聚点原理存在子列{xk}及y s.t. xk -> y。由
连续性
f(xk)->f(y)。...
证明有界闭
域上二元
连续函数
的
有界性
定理,最大(小)值定理及一致
连续性
定...
答:
可以由它在每点连续,得到每点的一个领域,在这个领域内,任意两点的距离小于一个数З,然后有闭区间的紧性,得有限个领域覆盖它,取有限个领域的最大直径为δ即可。当函数f(x)
在闭区间
[a,b]上是
连续函数
时,存在c属于[a,b],d属于[a,b]有f(c)≤duf(x)≤f(d),x∈[a,b]成立。
如何
证明函数
的
有界性
?
答:
一般来说,
连续函数在闭区间
上
有界
。例如,y=x+6在[1,2]上的最小值是7,最大值是8,所以它的函数值在7和8之间有界,所以它是有界的。但正切函数在有意义的区间内是无界的,比如(-PI/2,PI/2)sin(x)cos(x)sin(1/x)cos(1/x)arcsin(x)arccos(x)arctan(x)arccotx...
用有限覆盖定理
证明闭区间
上
连续函数
的
有界性
答:
取ε=1,由
连续性
,对于[a,b]上的任何一点x,存在δ>0,使得当t属于(x-δ,x+δ)∩[a,b]时|f(t)-f(x)|<ε 既然如此,每一点x都可以被一个开
区间
(x-δ,x+δ)覆盖,也就是开区间簇{(x-δ,x+δ)}覆盖了[a,b],取其有限子覆盖{(x1-δ1,x1+δ1),(x2-δ2,x2+δ2),....
怎么
证明
一个
函数在
某个
区间
上
有界
?
答:
内
连续
limx→a+f(x)存在limx→a+f(x)存在;limx→b−f(x)存在limx→b−f(x)存在 则f(x)在定义域[a,b]内有界。3.运算规则判定:在边界极限不存在时
有界函数
±± 有界函数 = 有界函数 (有限个,基本不会有无穷个,无穷是个难分高低的状态)有界 x 有界 = 有界 ...
如何利用
闭区间
套定理来
证明
单调
有界
定理
答:
将[a,b]等分为两个子区间,则至少有一个具有性质P,不妨记该区间为[a1,b1],则[a1,b1]含于[a,b] 。
闭区间
上
连续函数
的三大性质:介值定理,最大值定理,一致
连续性
定理,都是在他们需要出现的时候才出现,而且它们的
证明
都是用实数连续性定理证明的。整个体系可以用下图表示出来。
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