用有限覆盖定理证明闭区间上连续函数的有界性

Question

如题所述

Answer 1

考察[a,b]上的连续函数f(x)
取ε=1，由连续性，对于[a,b]上的任何一点x，存在δ>0，使得当t属于(x-δ,x+δ)∩[a,b]时|f(t)-f(x)|<ε
既然如此，每一点x都可以被一个开区间(x-δ,x+δ)覆盖，也就是开区间簇{(x-δ,x+δ)}覆盖了[a,b]，取其有限子覆盖{(x1-δ1,x1+δ1),(x2-δ2,x2+δ2),...,(xn-δn,xn+δn)}
记m=min{f(x1),f(x2),...,f(xn)}，M=max{f(x1),f(x2),...,f(xn)}
那么对于[a,b]上的任何一点x，至少属于其中的一个开区间，必有m-ε<f(x)<M+ε，所以f(x)在[a,b]上有界